现在应该很清楚为什么管状金属灯柱的振动振幅会随风速变化了。灯柱的固有频率由其结构决定，因此是固定的。涡旋脱落的频率，也就是振荡侧向力的频率，与风速成正比。因此，随着风速增大，灯柱所受外部激励的频率也随之增大。当激励频率接近灯柱的固有频率时，灯柱振动的振幅增大。当风速增大到足够大时，激励频率超过固有频率，振荡的振幅又再次减小。同样的解释也适用于塔科马海峡大桥。这座桥建成后，几个月内都没有出现严重问题。其毁坏是第一场风暴的结果——在那场风暴中，风速升高到足以在桥的某个固有频率上激发桥梁结构。（由于悬索桥的结构比简单的悬臂梁复杂得多，这样的桥有许多个固有频率，对应于不同的振动模式。）

10.10.4 电路中的振荡

在 10.2.4 节中，我们分析了一个由电阻、电容和电感组成的简单电路。在那种情况下，我们考虑的是在含有直流电压源的电路中合上开关时会发生什么。如果将交变电压信号施加到类似的电路上，控制所产生的振荡的方程同样是一个二阶线性微分方程。

考虑图 10.28 所示的电路。假设一个电压 $V_i$ 施加在输入端子 $i_1$ 和 $i_2$ 之间。电感两端的电压降为 $L(di/dt)$ ，电容两端的电压降为 $\int (i/C)dt$ ，电阻两端的电压降为 $Ri$ 。基尔霍夫定律（或电荷守恒原理）告诉我们，每个元件中的电流必须相同。输出端子 $o_1$ 和 $o_2$ 之间的电压为 $\int (i/C)dt = V_o$ . 因此我们有

$$L \frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C} \int i , dt = V_i$$

其中

$$V_o = \frac{1}{C} \int i , dt$$

也就是说，

$$LC \frac{d^2 V_0}{dt^2} + RC \frac{dV_0}{dt} + V_0 = V_1$$

或者

$$\frac{d^2 V_o}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{dV_o}{dt} + \frac{V_o}{LC} = \frac{V_i}{LC} \quad (10.56)$$

这是一个二阶线性非齐次常系数微分方程。如果信号 $V_i$ 具有如下形式 $V \cos \Omega t$ 那么我们基本上又得到二阶系统的受迫振荡。如果我们写成

$$\omega^2 = \frac{1}{LC}, \quad 2\zeta\omega = \frac{R}{L} \quad \text{and} \quad F = \frac{V}{LC}$$

图 10.28 一个 LCR 电路。