则 (10.56) 取 (10.53) 的标准形式，我们可以推断电压 $V_0$ 将是正弦的，其幅值为

$$\frac{A(\Omega)}{LC}V$$

其中

$$A(\Omega) = \frac{1}{[(\omega^2 - \Omega^2)^2 + 4\zeta^2\omega^2\Omega^2]^{1/2}}$$

因此，当正弦电压波形施加到电路的输入端时，出现在输出端的电压也是正弦波形，但其幅值相对于输入波形幅值而言取决于输入的频率。具有这种性质的电路当然被称为滤波器。

的形式取决于 $A(\Omega)$ 和 $\omega$ ，而它们又由 $\zeta$ 和 $L$ , $R$ 的值决定。后者可以被选择得使 $C$ 很小。在这种情况下，当输入频率 $\zeta$ $\Omega$ 接近某个频率 $\omega$ （由选择 $L$ 和 $C$ 决定），否则输出较小。这就是一个调谐电路或带通滤波器。如果 $L$ , $R$ 和 $C$ 选取得使 $\zeta$ 较大（比如接近 1），那么该电路对较小的 $\Omega$ 提供较大的输出，而对较大的 $\Omega$ 输出较小。这样的电路是低通滤波器。

在本节中，我们已经看到两个截然不同的工程领域——一个是机械领域，另一个是电气领域——的问题都导出了非常相似的方程。我们对该方程解的形式的知识可以适用于这两个领域中的任何一个。这是数学在工程科学中统一性的一个很好的例子。二阶线性常系数微分方程的求解理论在工程中还有许多其他应用。

这里还值得说明的是，我们在本节中描述的这类滤波器被称为无源滤波器，因为它们只使用电感、电阻和电容——这些元件被称为无源元件。现代电气工程的实践涉及在滤波器设计中使用有源元件，例如运算放大器，这类滤波器被称为有源滤波器。有源滤波器的运行分析比无源滤波器更为复杂。虽然在许多应用中，有源滤波器在现代实践中已经取代了无源滤波器，但也有许多应用中无源滤波器仍然是标准选择。

10.10.5 习题

• 66 求由下列二阶线性常系数微分方程所描述的系统的阻尼参数和固有频率：

• 67 确定所需适当参数的值，使由下列二阶线性常系数微分方程所描述的系统具有所给出的阻尼参数和固有频率：

• $$(a) \quad \frac{d^2x}{dt^2} + 2a\frac{dx}{dt} + bx = 0, \quad \zeta = 0.5, \quad \omega = 2$$

• (b) $\frac{d^2x}{dt^2} + p\frac{dx}{dt} + qx = 0, \quad \zeta = 1.4, \quad \omega = 0.5$

• $$(c) \quad \frac{d^2 x}{dt^2} + \beta \frac{dx}{dt} + \gamma x = 0, \quad \zeta = 1, \quad \omega = 1.1$$