连接在机器与相邻的强固点之间。机器的质量为 500 kg，长度 $a = 1$ m，长度 $b = 1.2$ m，弹簧刚度为 $8000 \text{ N m}^{-1}$ 。机器绕支点的转动惯量为 $2ma^2$ 。机器内部产生一个侧向力 $F$ 可近似表示为 $F_0 \cos 2\pi f t$ 。当机器加速运转时，频率 $f$ 从 0 增加到 6 Hz。在升速过程中，为防止机器的振动幅值超过其零频率幅值的两倍 $A(0)$ 所需的最小阻尼系数是多少？

73

图 10.30 弹性安装的机器设备。

73 图 10.31 展示了一个收音机调谐电路。试证明该电路的固有频率和阻尼参数为 $1/\sqrt{LC}$ 和

$$\frac{1}{2}\left(\frac{L}{C}\right)^{1/2}\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$$

分别为。若 $R_1 = 300 \Omega$ 和 $R_2 = 50 \Omega$ 那么 $L$ 应取什么值，并且 $C$ 应在什么范围内可调，才能使电路的阻尼系数为 $\zeta = 0.1$ 并且可以调谐到中波段（ $505 - 1605$ kHz）？

图 10.31 无线电调谐电路。

10.11 二阶及更高阶微分方程的数值解

显然，可以解析求解的二阶及更高阶微分方程虽然构成了此类方程总体中的一个重要子集，但相对来说范围有限。与一阶方程一样，那些不存在解析解的方程仍然可以通过数值方法求解。事实上，二阶及更高阶方程的数值求解并不需要任何重要的新数学理论或技术。

10.11.1 一阶耦合方程组的数值解

在 10.6 节中，我们学习了用于求解如下形式方程的欧拉方法

$$\frac{dx}{dt} = f(t, x)$$

即只涉及单个因变量和单个自变量的一阶微分方程。在 10.3 节中我们曾指出，可能存在一阶耦合方程组，其中各方程涉及相同的自变量，但含有多个因变量。这类方程组的一个例子是