$$\frac{dx}{dt} = x - y^2 + xt \quad (10.57a)$$

$$\frac{dy}{dt} t} = 2x^2 + xy - t \quad (10.57b)$$

这是一组关于因变量 x 和 y、自变量为 t 的微分方程组。每个因变量的导数不仅依赖于它自身和自变量 t，还依赖于另一个因变量。两个方程都无法单独求解，也不能彼此独立地求解——必须同时、并排地求解这两个方程。像 (10.57) 这样的一对联立微分方程可以表征为

$$\frac{dx}{dt} = f_1(t, x, y) \quad (10.58a)$$

$$\frac{dy}{dt} = f_2(t, x, y) \quad (10.58b)$$

对于一组 $p$ 这样的方程，方便的做法是不用 $x$ , $y$ , $z$ , ... 来表示因变量，而是用 $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , ..., $x_p$ 来表示，并将方程组记为

$$\frac{dx_i}{dt} = f_i(t, x_1, x_2, \dots, x_p) \quad (i = 1, 2, \dots, p)$$

或者等价地，使用向量记号，

$$\frac{d}{dt}[x] = f(t, x)$$

其中 x(t) 是 t 的向量函数，由下式给出

$$\mathbf{x}(t) = [x_1(t) \quad x_2(t) \quad \dots \quad x_p(t)]^T$$

f(t, x) 是标量变量 t 和向量变量 x 的向量值函数。

求解单个微分方程的欧拉方法形式为

$$X_{n+1} = X_n + hf(t_n, X_n)$$

如果我们尝试将该方法应用于 (10.58a)，则会得到

$$X_{n+1} = X_n + hf_1(t_n, X_n, Y_n)$$

换句话说，Xn**+**1 的值不仅依赖于 tn 和 Xn，还依赖于 Yn。同样地，我们会得到

$$Y_{n+1} = Y_n + hf_2(t_n, X_n, Y_n)$$

对于 Yn**+**1。实际上，这意味着要求解两个耦合的微分方程，我们必须按照例 10.47 所示的方式同时推进两个方程的解。