76 将下列初值问题转化为带有适当初始条件的一阶微分方程组：

$$(a) \frac{d^2x}{dt^2} + 4(x^2 - t^2)^{1/2} = 0,$$

$$x(1) = 2, \quad \frac{dx}{dt}(1) = 0.5$$

$$(b) \frac{d^3x}{dt^3} + t \frac{d^2x}{dt^2} + 6e^t \frac{dx}{dt} - x^2 t = e^{2t},$$

$$x(0) = 1, \quad \frac{dx}{dt}(0) = 2, \quad \frac{d^2x}{dt^2}(0) = 0$$

$$(c) \frac{d^3x}{dt^3} + t \frac{d^2x}{dt^2} + x^2 = \sin t,$$

$$x(1) = 1, \quad \frac{dx}{dt}(1) = 0, \quad \frac{d^2x}{dt^2}(1) = -2$$

$$(d) \left( \frac{d^3x}{dt^3} \right)^{1/2} + t \frac{d^2x}{dt^2} + x^2 t^2 = 0,$$

$$x(2) = 0, \quad \frac{dx}{dt}(2) = 0, \quad \frac{d^2x}{dt^2}(2) = 2$$

$$(e) \frac{d^4x}{dt^4} + x \frac{d^2x}{dt^2} + x^2 = \ln t, \quad x(0) = 0,$$

$$\frac{dx}{dt}(0) = 0, \quad \frac{d^2x}{dt^2}(0) = 4, \quad \frac{d^3x}{dt^3}(0) = -3$$

$$(f) \frac{d^4x}{dt^4} + \left( \frac{dx}{dt} - 1 \right) \frac{d^3x}{dt^3} + \frac{dx}{dt} - (xt)^{1/2}$$

$$= t^2 + 4t - 5,$$

$$x(0) = a, \quad \frac{dx}{dt}(0) = 0, \quad \frac{d^2x}{dt^2}(0) = b, \quad \frac{d^3x}{dt^3}(0) = 0$$

77 使用欧拉法计算近似值 $X(0.65)$ 求解 $x(0.65)$ 初值问题

$$\frac{d^3x}{dt^3} + \frac{d^2x}{dt^2}(x - t) + \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 - x^2 = 0,$$

$$x(0.5) = -1, \quad \frac{dx}{dt}(0.5) = 1, \quad \frac{d^2x}{dt^2}(0.5) = 2$$

步长为 $h = 0.05$ 。

78 编写一个计算机程序，用欧拉法求解初值问题

$$\frac{d^2x}{dt^2} + x^2 \frac{dx}{dt} + x = \sin t,$$

$$x(0) = 0, \quad \frac{dx}{dt}(0) = 1$$

。使用你的程序求 $X(0.4)$ 的值，步长分别取 $h = 0.01$ 和 $h = 0.005$ 。据此估计你所求得的值的精度 $X(0.4)$ 并估计为获得精确到 4 位小数的值所需的步长 $X(0.4)$ 准确到 4 位小数。

79 某水处理厂处理恒定流入 $Q$ 的污水，其污染物浓度为 $s_0$ 。处理池中含有消耗污染物的细菌以及以细菌为食的原生动物，从而防止细菌增长过快而压垮系统。如果细菌和原生动物的浓度分别记为 $b$ 和 $p$ 则该系统由以下微分方程控制

$$\frac{ds}{dt} = r(s_0 - s) - \alpha m \frac{bs}{1 + s}$$

$$\frac{db}{dt} = -rb + m \frac{bs}{1 + s} - \beta n \frac{bp}{1 + p}$$

$$\frac{dp}{dt} = -rp + n \frac{bp}{1 + p}$$

编写一个程序来数值求解这些方程。

测量已确定（生物）参数 $\alpha$ , $m$ , $\beta$ 和 $n$ 的值分别为 0.5、1.0、0.8 和 0.1。参数 $r$ 是污水流入速率的度量，且 $s_0$ 是污染物的浓度水平。利用初始条件 $s(0) = 0$ , $b(0) = 0.2$ 和 $p(0) = 0.05$ 确定最终的稳态污染物浓度，若 $r = 0.05$ 和 $s_0 = 0.4$ 。将流入速率加倍（ $r$ ）会有什么影响？