10.12 二阶微分方程的定性分析

有时，发现微分方程解的定性性质比完全求解它更容易或更方便。在某些情况下，这种定性知识就像完整解一样有用。在另一些情况下，定性知识比定量解更具启发性，特别是当能够得到的唯一定量解只是数值解时。在这方面非常有用的一种技术是相平面图。

10.12.1 相平面图

二阶非线性微分方程

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \mu(x^2 - 1)\frac{dx}{dt} + \lambda x = 0$$

被称为范德波尔振荡器。它具有许多非线性振荡器的典型特性。该方程没有简单的解析解，因此，如果我们想研究它的性质，就必须借助数值计算。该方程可以很容易地改写为 10.11.2 节所述的状态空间形式，并用 10.6 节所述的欧拉方法求解。

图 10.32 展示了范德波尔振荡器在 $\lambda = 40$ 和 $\mu = 3$ 时的位移和速度曲线。所用的初始条件为 $x(0) = 0.05$ 和 $(dx/dt)(0) = 0$ .

图 10.32 范德波尔振荡器的位移和速度轨迹。