得到如图 10.34(a) 所示的相平面图。在该特定情形中，参数取值为 $\mu = 1.5$ 和 $\lambda = 40$ 。使该方程产生衰减振荡解的其他 $\mu$ 和 $\lambda$ 取值也会得到类似的螺旋状相平面图，并随着 $t \rightarrow \infty$ 趋于原点。这样的图是任何具有振荡且衰减行为的系统的典型特征。例如，图 10.34(b) 展示了非线性二阶方程

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \mu \operatorname{sgn}\left(\frac{dx}{dt}\right) + \lambda x = 0 \quad (10.59)$$

的相平面图，其中 $\mu = 3$ 和 $\lambda = 40$ （回顾一下，函数 $\text{sgn}(x)$ 在 $x \geq 0$ 和 $-1$ 如果 $x < 0$ )。图 10.34(a)、(b) 的一般特征相似。两个方程之间的差异体现在螺旋线相邻各圈间距变化模式的不同。

相平面绘图的作用不仅限于加深对微分方程数值解的理解。许多工程系统的数学模型中都会出现可表示为如下形式的二阶微分方程

$$\frac{d^2x}{dt^2} = f\left(x, \frac{dx}{dt}\right)$$

出现在许多工程系统的数学模型中。这种形式的方程可以表示为

$$\frac{dv}{dx} = \frac{f(x, v)}{v},}, \quad \text{where } v = \frac{dx}{dt}$$

图 10.34 某些二阶振子的相平面图。