导数 dv/dx 当然就是相平面中解路径的梯度。因此，我们无需实际求出解，就可以在相平面上勾画出这类二阶微分方程解的路径。这为预期解的形式提供了有用的定性洞察。

举个例子，考虑 (10.59)。它可以表示为

$$\frac{dv}{dx} = -\frac{\mu \text{sgn}(v) + \lambda x}{v}$$

因此，对于曲线上的所有点，相平面中解路径的梯度都等于 k

$$v = -\frac{\lambda}{k}x - \frac{\mu \operatorname{sgn}(v)}{k}, \quad k \neq 0$$

这些曲线当然是一族直线。因此，我们可以构造一个类似于 10.5.1 节所描述的方向场图的图示。相平面方向场图如图 10.35 所示，其中叠加了来自图 10.34(b) 的解路径。

这一技术也可用于相平面中等梯度线不是直线的方程。例 10.50 说明了这一点。

(10.59) 的相平面方向场。

例 10.50 为如下方程绘制相平面方向场

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 1.5 \left( \frac{dx}{dt} \right)^3 + 40x = 0 \quad (10.60)$$