因此，请大致绘出该方程从初始条件出发的解路径 $x = 1$ , $dx/dt = 0$ 。

解答 方程 (10.60) 可以表示为

$$v \frac{dv}{dx} = -1.5v^3 - 40x$$

因此，解路径梯度等于 k 的曲线由下式给出

$$x = -\frac{1}{40}(kv + 1.5v^3)$$

于是，如图 10.36 所示，在这种情况下，解路径梯度为常数的曲线是 v 的三次函数。图中大致绘出了该方程从点 (1, 0) 出发的解路径。

(10.60) 的相平面方向场。

80 为下列方程绘制相平面方向场，并大致绘出你预期解路径从点 $(x, v) = (1, 0)$ , $(0, 1)$ , , $(-1, 0)$ 和 $(0, -1)$ 出发时所呈现的形状：

$$(a) \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} + x^3 = 0$$

$$(b) \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} + \text{sgn}(x) = 0$$

$$(c) \quad \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} + x^2 \operatorname{sgn}(x) = 0$$

$$(d) \quad \frac{d^2x}{dt^2} + \operatorname{sgn}\left(\frac{dx}{dt}\right) + 2 \operatorname{sgn}(x) = 0$$

81 对第 78 题中的每个问题，用数值方法求解该微分方程，并检验所得到的解是否与你的草图解相似。

10.12.2 习题