10.13 复习题（1–35）

尽可能使用 MATLAB 检查你的答案。

1 将下列每个方程分类为常微分方程，并判断是线性齐次、线性非齐次还是非线性微分方程，指出方程的阶数，并说明因变量和自变量：

$$(a) \quad \frac{d^2x}{dt^2} + x \frac{dx}{dt} + x^2 = 0$$

$$(b) \quad \frac{dz}{dx} + 4z^2 = \sin x$$

$$(c) \quad \frac{d^3p}{ds^3} + 4s \frac{d^2p}{ds^2} + s^2 = \cos as$$

2 将下列微分方程问题分类为欠定、恰定或超定，并在可能的情况下求解：

$$(a) \quad \frac{d^2x}{dt^2} = t, \quad x(0) = 1$$

(b) $$\frac{d^3 x}{dt^3} - t = 0, \quad x(0) = 0, \quad x(1) = 0, \quad x(2) = 0$$

$$(c) \quad \frac{dx}{dt} = \sin t, \quad x(0) = 0, \quad \frac{dx}{dt}(0) = 1$$

$$(d) \quad \frac{d^2x}{dt^2} = e^{4t}, \quad x(0) = 0, \quad \frac{dx}{dt}(1) = 0$$

3 画出微分方程的方向场

$$\frac{dx}{dt} = ax(1 - x^2)$$

并画出方向场所提示的解的形态。求解该方程，并确认解支持你从方向场得出的推断。

4 求解下列微分方程问题：

$$(a) \quad \frac{dx}{dt} + \frac{\cos t}{\sin x} = 0, \quad x(0) = -\pi$$

$$(b) \quad t \frac{dx}{dt} - e^{-x = 0, \quad x(1) = 2$$

$$(c) \quad \frac{dx}{dt} = xt^2, \quad x(2) = 1$$

$$(d) \quad t \frac{dx}{dt} = \frac{t}{\sin(x/t)} + x, \quad x(1) = 1$$

$$(e) \quad \frac{dx}{dt} = \frac{8t - x}{2x + t}, \quad x(0) = 2$$

$$(f) \quad t \frac{dx}{dt} + x \ln t = x(\ln x + 1), \quad x(1) = 2$$

$$(g) \ t \frac{dx}{dt} = x - t, \quad x(1) = 3$$

$$(h) \frac{dx}{dt} = \frac{x - 7t}{x - t}, \quad x(0) = 2$$

5 对于下列每个问题，判断哪些是恰当微分，并在可能的情况下求解相应的微分方程：

$$(a) \ 2xt^2 \frac{dx}{dt} = a - 2x^2t, \quad x(1) = 2$$

(b) $$(2xt + 2t + t^2)\frac{dx}{dt} + x^2 + 2tx = 0, \quad x(2) = 2$$

$$(c) \quad (t \cos xt) \frac{dx}{dt} + x \cos xt + 1 = 0, \quad x(\pi) = 0$$

(d) $$(t \cos xt) \frac{dx}{dt} - x \cos xt = 0, \quad x(\pi) = 0$$

$$(e) \quad t e^{xt} \frac{dx}{dt} + 1 + x e^{xt} = 0, \quad x(2) = 4$$

6 求解下列微分方程问题：

$$(a) \quad \frac{dx}{dt} - 2x = t, \quad x(0) = 2$$

$$(b) \frac{dx}{dt} + 2tx = (t - \frac{1}{2})e^{-t}, \quad x(0) = 1$$

$$(c) \quad \frac{dx}{dt} + 3x = e^{2t}, \quad x(0) = 2$$

$$(d) \frac{dx}{dt} + x \sin t = \sin t, \quad x(\pi) = e$$

7 求解微分方程

$$\frac{dx}{dt} = \left( \frac{xt}{x^2 + t^2} \right)^{1/2}, \quad x(0) = 1$$