11.2 拉普拉斯变换

11.2.1 定义与记号

我们通过表达式定义函数的拉普拉斯变换 $f(t)$ 由表达式

$$\mathcal{L}{f(t)} = \int_0^\infty e^{-st}f(t)dt \quad (11.1)$$

其中 $s$ 是一个复变量，而 $e^{-st}$ 称为该变换的核。

通常用对应的大写字母表示函数的拉普拉斯变换，因此我们写作

$$\mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)dt \quad (11.2)$$

一个常用的记号是将 $\mathcal{L}{f(t)}$ 表示为 $\bar{f}(s)$ 或简写为 $\bar{f}$ 。

在继续之前，关于定义 (11.2) 有几点值得说明。

• (a) 符号 $\mathcal{L}$ 表示拉普拉斯变换算子；当它作用于一个函数 $f(t)$ 时，它将其变换为一个关于复变量 $F(s)$ 的函数 $s$ 。我们说该算子将 $f(t)$ 域（通常称为时域）中的函数 $t$ 变换为 $F(s)$ 域（通常称为复频域，或简称频域）中的函数 $s$ 。这一关系在图 11.2 中以图形方式描绘，通常将 $f(t)$ 和 $F(s)$ 作为一个拉普拉斯变换对，写作 ${f(t), F(s)}$ .

• (b) 因为积分的上限是无穷大，所以积分区域是无限的。因此该积分是反常积分的一个例子，如前文所述（见 9.2 节）；也就是说，

$$\int_0^\infty e^{-sf(t)} dt = \lim_{T \rightarrow \infty} \int_0^T e^{-sf(t)} dt$$

这立即引出了积分是否收敛的问题，我们将在下文讨论这个问题（见 11.2.3 节）。

图 11.2
拉普拉斯变换
算子。