(c) 由于积分的下限为零，因此在取拉普拉斯变换时， $f(t)$ 在负值时的行为被忽略或抑制。这意味着 $t$ 仅包含 $F(s)$ 在 $f(t)$ 时的行为信息，所以拉普拉斯变换不适合用于研究 $t \geq 0$ 在 $f(t)$ 时的取值相关的问题。在大多数工程应用中，这不会造成任何问题，因为我们所关注的是物理系统，其中所处理的函数随时间 $t < 0$ 变化。物理可实现系统的一个特性是它们是非预知的，即在施加输入（激励）之前不会产生输出（响应）。由于输入与输出之间的这种因果关系，我们定义函数 $t$ 为因果的，如果它满足以下条件： $f(t)$ $f(t) = 0$ ( $t < 0$ ）。然而，一般而言，除非明确指定了定义域，函数 $f(t)$ 通常被解释为对 $t$ 的所有实数值（包括正值和负值）都有定义。利用海维赛德单位阶跃函数 $H(t)$ （另见第 2.8.3 节），其中

$$H(t) = \begin{cases} 0 & (t < 0) \ 1 & (t \geq 0) \end{cases}$$

我们有

$$f(t)H(t) = \begin{cases} 0 & (t < 0) \ f(t) & (t \geq 0) \end{cases}$$

因此，将 f(t) 乘以 H(t) 的效果是将其转换为因果函数。从图形上看，f(t) 与 f(t)H(t) 之间的关系如图 11.3 所示。

由此可知，相应的拉普拉斯变换 F(s) 包含了关于 f(t)H(t) 行为的全部信息。因此，严格来说，应将 { f(t)H(t), F(s)} 而非 { f(t), F(s)} 称为一个拉普拉斯变换对。然而，通常的做法是省略 H(t)，并假定我们处理的是因果函数。

(d) 如果我们关注的是 $f(t)$ 在 $t < 0$ 上的行为，那么我们需要使用函数 $f(t)$ 的另一种 双边拉普拉斯变换，其定义为

$$\mathcal{L}B{f(t)} = \int{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t) dt \quad (11.3)$$

由 (11.2) 定义、下限为零的拉普拉斯变换有时被称为函数 f(t) 的 单边拉普拉斯变换。在本章中，我们只关注后者，并简单地将其称为函数 f(t) 的拉普拉斯变换。注意，当 f(t) 是因果函数时，

$$\mathcal{L}_B{f(t)} = \mathcal{L}{f(t)}$$

图 11.3 f(t) 及其因果等价函数的图像。