11.2.2 简单函数的变换

在本节中，我们求一些简单函数的拉普拉斯变换。

例 11.1 求函数的拉普拉斯变换

$$f(t) = c$$

其中 $c$ 为常数。

解 利用定义 (11.2)，

$$\begin{aligned} \mathcal{L}(c) &= \int_0^\infty e^{-st} c , dt = \lim_{T \rightarrow \infty} \int_0^T e^{-st} c , dt \ &= \lim_{T \rightarrow \infty} \left[ -\frac{c}{s} e^{-st} \right]0^T = \frac{c}{s} \left( 1 - \lim{T \rightarrow \infty} e^{-sT} \right) \end{aligned}$$

取 $s = \sigma + j\omega$ ，其中 $\sigma$ 和 $\omega$ 为实数，

$$\lim_{T \rightarrow \infty} e^{-sT} = \lim_{T \rightarrow \infty} (e^{-(\sigma+j\omega)T}) = \lim_{T \rightarrow \infty} e^{-\sigma T} (\cos \omega T - j \sin \omega T)$$

仅当 $\sigma = \text{Re}(s) > 0$ 时存在有限极限，此时极限为零。因此，只要 $\text{Re}(s) > 0$ ，拉普拉斯变换为

$$\mathcal{L}(c) = \frac{c}{s}, \quad \text{Re}(s) > 0$$

因此

$$\begin{cases} f(t) = c \ F(s) = \frac{c}{s} \end{cases} \quad \begin{cases} \text{Re}(s) > 0 \end{cases} \quad (11.4)$$

构成一个拉普拉斯变换对的例子。

例 11.2 求斜坡函数的拉普拉斯变换

$$f(t) = t$$

解 根据定义 (11.2)，

$$\begin{aligned} \mathcal{L}{t} &= \int_0^\infty e^{-st} t , dt = \lim_{T \rightarrow \infty} \int_0^T e^{-st} t , dt \ &= \lim_{T \rightarrow \infty} \left[ -\frac{t}{s} e^{-st} - \frac{e^{-st}}{s^2} \right]0^T = \frac{1}{s^2} - \lim{T \rightarrow \infty} \frac{T e^{-sT}}{s} - \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{e^{-sT}}{s^2} \end{aligned}$$