按照与例 11.1 相同的步骤，只要满足以下条件，极限就存在 $\text{Re}(s) > 0$ ，当

$$\lim_{T \rightarrow \infty} \frac{Te^{-sT}}{s} = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{e^{-sT}}{s^2} = 0$$

因此，只要 $\text{Re}(s) > 0$ ,

$$\mathcal{L}{t} = \frac{1}{s^2}$$

从而得到拉普拉斯变换对

$$\left. \begin{aligned} f(t) &= t \ F(s) &= \frac{1}{s^2} \end{aligned} \right} \text{Re}(s) > 0 \quad (11.5)$$

例 11.3

求单边指数函数的拉普拉斯变换

$$f(t) = e^{kt}$$

解 定义 (11.2) 给出

$$\begin{aligned} \mathcal{L}(e^{kt}) &= \int_0^\infty e^{-st} e^{kt} dt = \lim_{T \rightarrow \infty} \int_0^T e^{-(s-k)t} dt \ &= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{-1}{s-k} [e^{-(s-k)t}]0^T = \frac{1}{s-k} \left( 1 - \lim{T \rightarrow \infty} e^{-(s-k)T} \right) \end{aligned}$$

记 $s = \sigma + j\omega$ ，其中 $\sigma$ 和 $\omega$ 为实数，我们有

$$\lim_{T \rightarrow \infty} e^{-(s-k)T} = \lim_{T \rightarrow \infty} e^{-(\sigma-k)T} e^{-j\omega T}$$

如果 $k$ 为实数，那么，只要 $\sigma = \text{Re}(s) > k$ ，极限就存在，且为零。如果 $k$ 为复数，设 $k = a + jb$ ，那么只要 $\sigma > a$ （即 $\text{Re}(s) > \text{Re}(k)$ ），极限也将存在，且为零。在这些条件下，我们有

$$\mathcal{L}{e^{kt}} = \frac{1}{s-k}$$

从而得到拉普拉斯变换对

$$\left. \begin{aligned} f(t) &= e^{kt} \ F(s) &= \frac{1}{s-k} \end{aligned} \right} \text{Re}(s) > \text{Re}(k) \quad (11.6)$$

例 11.4

求正弦函数和余弦函数的拉普拉斯变换

$$f(t) = \sin at, \quad g(t) = \cos at$$