解答 由于

ejat = cos at + j sin at

我们可以写成

$$f(t) = \sin at = \text{Im}(e^{jat}), \quad g(t) = \cos at = \text{Re}(e^{jat})$$

利用这一表达式，所需的变换可由结果

$$\mathcal{L}{e^{kt}} = \frac{1}{s-k}, \quad \text{Re}(s) > \text{Re}(k)$$

例 11.3 得到。

取 $k = ja$ 在此结果中给出

$$\mathcal{L}{\mathbf{e}^{jat}} = \frac{1}{s - ja}, \quad \text{Re}(s) > 0$$

或

$$\mathcal{L}{e^{jat}} = \frac{s + ja}{s^2 + a^2}, \quad \text{Re}(s) > 0$$

于是，令实部和虚部分别相等，并假设 s 为实数，

$$\mathcal{L}{\cos at} = \text{Re } \mathcal{L}{e^{jat}} = \frac{s}{s^2 + a^2}$$

$$\mathcal{L}{\sin at} = \text{Im } \mathcal{L}{e^{jat}} = \frac{a}{s^2 + a^2}$$

当 s 为复数时这些结果同样成立，从而得到以下拉普拉斯变换对

$$\mathcal{L}{\sin at = \frac{a}{s^2 + a^2}, \quad \text{Re}(s) > 0 \quad (11.7)$$

$$\mathcal{L}{\cos at} = \frac{s}{s^2 + a^2}, \quad \text{Re}(s) > 0 \quad (11.8)$$

使用 MATLAB 求解常系数线性常微分方程的方法已在 10.8 节中介绍。由于这两章可以独立学习，这里再次介绍 MATLAB 命令。在 MATLAB 中，使用符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox），函数 f(t) 的拉普拉斯变换可通过输入以下命令获得

syms s t laplace(f(t))

如前所述，第一条命令的作用是将 s 和 t 设置为符号变量。要寻找符号答案的更简形式，可输入命令 simple(ans)。有时需要重复使用该命令，可能