是必要的。如果函数 $f(t)$ 包含一个参数，那么必须在开头将其声明为一个符号项。例如，命令

syms s t
laplace(sin(a*t))

返回

ans = a/(s^2 + a^2)

作为以下函数的拉普拉斯变换 $\sin(at)$ 。要以类似排版数学的形式表达它，请输入命令 pretty(ans)。

11.2.3 拉普拉斯变换的存在性

显然，根据定义 (11.2)，函数的拉普拉斯变换 $f(t)$ 存在当且仅当定义中的反常积分至少对某些 $s$ 的值收敛。上一节的例子表明，这与函数的有界性有关，变换积分中的因子 $e^{-st}$ 起到了收敛因子的作用，即允许的 $\text{Re}(s)$ 值是使积分收敛的那些值。为了能够对 $f(t)$ 陈述其存在性的充分条件 $\mathcal{L}{f(t)}$ , 我们首先介绍指数阶函数的定义。

定义 11.1

一个函数 $f(t)$ 被称为当 $t \rightarrow \infty$ 时具有指数阶， $\sigma$ 如果存在一个实数 $M$ 和正常数 $T$ 与

$$|f(t)| < Me^{\sigma t}$$

使得 $t > T$ 对所有 $f(t)$ 成立。

这个定义告诉我们，一个函数 $Me^{\sigma't}$ . 幸运的是，大多数具有实际意义的函数都满足这一要求，因此具有指数阶。然而，也存在不具有指数阶的函数，例如 $e^{t^2}$ ，因为它比 $Me^{\sigma't}$ 增长得更快，无论 $t \rightarrow \infty$ 和 $M$ 取何值。

例 11.5 函数 $\sigma$ 具有指数阶，其中 $f(t) = e^{3t}$ 。

例 11.6 证明函数 $\sigma \geq 3$ ) 具有指数阶。

解 由于 $f(t) = t^3$ ( $t \geq 0$ （见图 9.6），因此对于任意

$$e^{\alpha t} = 1 + \alpha t + \frac{1}{2}\alpha^2 t^2 + \frac{1}{6}\alpha^3 t^3 + \dots$$

$\alpha > 0$

$$t^3 < \frac{6}{\alpha^3} e^{\alpha t}$$