由例 11.5 和例 11.6 可知， $\sigma$ 在定义 11.1 中对于特定函数的取法并不唯一。因此，我们把 $\sigma_c$ 的可能取值集合的最大下界定义为 $\sigma$ 的收敛横坐标 $f(t)$ 。于是，对于函数 $f(t) = e^{3t}$ , $\sigma_c = 3$ 的情形，而对于函数 $f(t) = t^3$ , $\sigma_c = 0$ 的情形，。

回到由 (11.2) 给出的拉普拉斯变换的定义，可知若 $f(t)$ 是连续函数且具有指数阶，其收敛横坐标为 $\sigma_c$ ，从而

$$|f(t)| < Me^{\sigma t}, \quad \sigma > \sigma_c$$

，那么取 $T = 0$ 在定义 11.1 中，并注意到积分的绝对值总是小于或等于绝对值的积分，

$$|F(s)| = \left| \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt \right| \leq \int_0^\infty |e^{-st}| |f(t)| dt$$

写作 $s = \sigma + j\omega$ ，其中 $\sigma$ 和 $\omega$ 为实数，由于 $|e^{-j\omega t}| = 1$ ，我们有

$$|\mathbf{e}^{-st}| = |\mathbf{e}^{-\sigma t}| |\mathbf{e}^{-j\omega t}| = |\mathbf{e}^{-\sigma t}| = \mathbf{e}^{-\sigma t}$$

因此

$$\begin{aligned} |F(s)| &\leq \int_0^\infty e^{-\sigma t} |f(t)| dt \leq M \int_0^\infty e^{-\sigma t} e^{\sigma t} dt, \quad \sigma_d > \sigma_c \ &= M \int_0^\infty e^{-(\sigma - \sigma_d)t} dt \end{aligned}$$

只要 $\sigma = \text{Re}(s) > \sigma_d$ ，这最后一个积分就是有限的。由于 $\sigma_d$ 可以被任意选取，使得 $\sigma_d > \sigma_c$ 我们得出结论： $F(s)$ 存在，对于 $\sigma > \sigma_c$ 。因此，一个连续函数 $f(t)$ 指数阶的，且收敛横坐标为 $\sigma_c$ ，具有拉普拉斯变换

$$\mathcal{L}{f(t)} = F(s), \quad \text{Re}(s) > \sigma_c$$

其中收敛区域如图 11.4 所示。

事实上，要求 $f(t)$ 连续并非必要条件，可以放宽为 $f(t)$ 是分段连续的，如前文所定义（见 8.8.2 节）；也就是说， $f(t)$ 只能有有限个有限间断点，在其他地方连续且有界。

我们以一个保证拉普拉斯变换存在性的定理来结束本节。

图 11.4 展示了该函数的收敛性 $f(t)$ 到收敛点 $f(\infty)$ 随着 $t$ 增大。该图显示了 $f(t)$ 到收敛点 $f(\infty)$ 随着 $t$ 增大。