定理 11.1 拉普拉斯变换的存在性

如果因果函数 $f(t)$ 在 $[0, \infty]$ 上分段连续，且为指数阶，收敛横坐标为 $\sigma_c$ ，则其拉普拉斯变换存在，收敛域为 $\text{Re}(s) > \sigma_c$ 平面上的 $s$ ；即

$$\mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)dt, \quad \text{Re}(s) > \sigma_c$$

定理结束

本定理的条件是保证函数拉普拉斯变换存在的充分条件。然而，这些条件并不构成该变换存在的必要条件，因此不能得出若条件不满足则变换不存在的结论。事实上，这些条件比必要的更为严格，因为存在具有无穷间断点但仍拥有拉普拉斯变换的函数。

11.2.4 拉普拉斯变换的性质

在本节中，我们考虑拉普拉斯变换的一些性质，这些性质将使我们能够求出更多的变换对 ${f(t), F(s)}$ 而不必直接用定义进行计算。在后续章节中，当需要时将进一步介绍其他性质。

性质 11.1：线性性质

拉普拉斯变换的一个基本性质是其线性性，可表述如下：

若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是具有拉普拉斯变换的函数，且若 $\alpha$ 和 $\beta$ 为任意常数，则

$$\mathcal{L}{\alpha f(t) + \beta g(t)} = \alpha \mathcal{L}{f(t)} + \beta \mathcal{L}{g(t)}$$

作为该性质的一个推论，我们称拉普拉斯变换算子 $\mathcal{L}$ 是一个线性算子。该性质的证明由定义 (11.2) 很容易得出，因为

$$\begin{aligned}\mathcal{L}{\alpha f(t) + \beta g(t)} &= \int_0^\infty [\alpha f(t) + \beta g(t)] e^{-st} dt \ &= \int_0^\infty \alpha f(t) e^{-st} dt + \int_0^\infty \beta g(t) e^{-st} dt \ &= \alpha \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt + \beta \int_0^\infty g(t) e^{-st} dt \ &= \alpha \mathcal{L}{f(t)} + \beta \mathcal{L}{g(t)}\end{aligned}$$