关于收敛区域，如果 $f(t)$ 和 $g(t)$ 分别具有收敛横坐标 $\sigma_f$ 和 $\sigma_g$ ，并且 $\sigma_1 > \sigma_f$ , $\sigma_2 > \sigma_g$ ，那么

$$|f(t)| < M_1 e^{\sigma_1 t}, \quad |g(t)| < M_2 e^{\sigma_2 t}$$

可得

$$\begin{aligned} |\alpha f(t) + \beta g(t)| &\leq |\alpha| |f(t)| + |\beta| |g(t)| \ &\leq |\alpha| M_1 e^{\sigma_1 t} + |\beta| M_2 e^{\sigma_2 t} \ &\leq (|\alpha| M_1 + |\beta| M_2) e^{\sigma t} \end{aligned}$$

其中 $\sigma = \max(\sigma_1, \sigma_2)$ ，因此线性和的收敛横坐标 $\alpha f(t) + \beta g(t)$ 小于或等于二者的最大值 $f(t)$ 和 $g(t)$ 。

这一线性性质显然可以推广到任意有限个函数的线性组合。

例 11.7 确定 $\mathcal{L}{3t + 2e^{3t}}$ 。

解 利用 (11.5) 和 (11.6) 中给出的结果，

$$\mathcal{L}{e^{3t}} = \frac{1}{s-3}, \quad \text{Re}(s) > 3$$

$$\mathcal{L}{t} = \frac{1}{s^2}, \quad \text{Re}(s) > 0$$

因此，根据线性性质，

$$\begin{aligned}\mathcal{L}{3t + 2e^{3t}} &= 3\mathcal{L}{t} + 2\mathcal{L}{e^{3t}} \ &= \frac{3}{s^2} + \frac{2}{s - 3}, \quad \text{Re}(s) > \max{0, 3} \ &= \frac{3}{s^2} + \frac{2}{s - 3}, \quad \text{Re}(s) > 3\end{aligned}$$

可以使用以下命令验证答案

syms s t laplace(3*t + 2*exp(3*t)); pretty(ans)

其返回结果为

$$\frac{3}{s^2} + \frac{2}{s^2 - 3}$$