例 11.8 确定 $\mathcal{L}{5 - 3t + 4 \sin 2t - 6e^{4t}}$ 。

解 利用 (11.4)–(11.7) 中给出的结果，

$$\begin{aligned}\mathcal{L}{5} &= \frac{5}{s}, \quad \text{Re}(s) > 0 & \mathcal{L}{t} &= \frac{1}{s^2}, \quad \text{Re}(s) > 0 \ \mathcal{L}{\sin 2t} &= \frac{2}{s^2 + 4}, \quad \text{Re}(s) > 0 & \mathcal{L}{e^{4t}} &= \frac{1}{s - 4}, \quad \text{Re}(s) > 4\end{aligned}$$

因此，根据线性性质，

$$\begin{aligned}\mathcal{L}{5 - 3t + 4 \sin 2t - 6e^{4t}} &= \mathcal{L}{5} - 3\mathcal{L}{t} + 4\mathcal{L}{\sin 2t} - 6\mathcal{L}{e^{4t}} \ &= \frac{5}{s} - \frac{3}{s^2} + \frac{8}{s^2 + 4} - \frac{6}{s - 4}, \quad \text{Re}(s) > \max{0, 4} \ &= \frac{5}{s} - \frac{3}{s^2} + \frac{8}{s^2 + 4} - \frac{6}{s - 4}, \quad \text{Re}(s) > 4\end{aligned}$$

同样，这个答案可以用 MATLAB 中的命令

syms s t
laplace(5 - 3*t + 4*sin(2*t) - 6*exp(4*t))

来验证。

第一平移性质是另一个能让我们在拉普拉斯变换对库中增加更多组合的性质。与线性性质一样，它在后面的讨论中将被证明具有相当重要的意义，特别是在考虑拉普拉斯变换的反演时。

性质 11.2：第一平移性质

该性质包含在以下定理中，通常称为第一平移定理，有时也称为指数调制定理。

定理 11.2 第一平移定理

若 $f(t)$ 是一个具有拉普拉斯变换 $F(s)$ 的函数，其中 $\text{Re}(s) > \sigma_c$ ，则函数 $e^{at}f(t)$ 也有拉普拉斯变换，由下式给出

$$\mathcal{L}{e^{at}f(t)} = F(s - a), \quad \text{Re}(s) > \sigma_c + \text{Re}(a)$$