证明 该定理的证明可直接由拉普拉斯变换的定义得出，因为

$$\mathcal{L}{e^{at}f(t)} = \int_0^\infty e^{at}f(t)e^{-st}dt = \int_0^\infty f(t)e^{-(s-a)t}dt$$

那么，由于

$$\mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt, \quad \text{Re}(s) > \sigma_c$$

我们看到上面的最后一个积分在结构上恰好是 $f(t)$ 本身的拉普拉斯变换，只不过 $s - a$ 取代了 $s$ 的位置，因此

$$\mathcal{L}{e^{at}f(t)} = F(s - a), \quad \text{Re}(s - a) > \sigma_c$$

或者

$$\mathcal{L}{e^{at}f(t)} = F(s - a), \quad \text{Re}(s) > \sigma_c + \text{Re}(a)$$

定理结束

表达定理 11.2 结果的另一种方式（在应用中可能更为方便）是

$$\mathcal{L}{\mathbf{e}^e}^{at}f(t)} = [\mathcal{L}{f(t)}]{s \rightarrow s-a} = [F(s)]{s \rightarrow s-a}$$

换言之，该定理说明 $e^{at}$ 倍函数的拉普拉斯变换 $f(t)$ 等于……的拉普拉斯变换 $f(t)$ 本身，其中 $s$ 被替换为 $s - a$ 。

例 11.9 求 $\mathcal{L}{te^{-2t}}$ 。

解 根据式 (11.5) 给出的结果，

$$\mathcal{L}{t} = F(s) = \frac{1}{s^2}, \quad \text{Re}(s) > 0$$

因此，根据第一平移定理，

$$\mathcal{L}{te^{-2t}} = F(s+2) = [F(s)]_{s\rightarrow s+2}, \quad \text{Re}(s) > 0 - 2$$

即

$$\mathcal{L}{te^{-2t}} = \frac{1}{(s+2)^2}, \quad \text{Re}(s) > -2$$