系统，特别是在振动分析中。因此，我们将以下两个该类的一般成员添加到我们的拉普拉斯变换对标准库中：

$$\mathcal{L}{e^{-kt}\sin at} = \frac{a}{(s+k)^2+a^2}, \quad \text{Re}(s) > -k \quad (11.9)$$

$$\mathcal{L}\mathcal{L}{e^{-kt}\cos at} = \frac{s+k}{(s+k)^2+a^2}, \quad \text{Re}(s) > -k \quad (11.10)$$

其中在两种情况下 k 和 a 均为实常数。

性质 11.3：变换的导数性质

该性质将时域中的运算与变换后的 s 域中的运算联系起来，但起初我们只是把它看作一种扩充拉普拉斯变换对储备的方法。该性质有时也被称为**乘以 t 性质。该性质的表述包含在以下定理中。

定理 11.3 变换的导数

如果 f(t) 是一个具有拉普拉斯变换的函数

$$F(s) = \mathcal{L}{f(t)}, \quad \text{Re}(s) > \sigma_c$$

那么函数 $t^n f(t)$ ( $n = 1, 2, \dots$ ) 也具有拉普拉斯变换，由下式给出

$$\mathcal{L}{t^n f(t)} = (-1)^n \frac{d^n F(s)}{ds^n}, \quad \text{Re}(s) > \sigma_c$$

证明 根据定义，

$$\mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)dt$$

因此

$$\frac{d^n F(s)}{ds^n} = \frac{d^n}{ds^n} \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt$$

由于所涉及的广义积分的收敛性质，我们可以交换微分和积分的运算顺序，并在积分号下对 s 求导。于是

$$\frac{d^n F(s)}{ds^n} = \int_0^\infty \frac{\partial^n}{\partial s^n} [e^{-st} f(t)] dt$$

在完成反复求导后，得到

$$\frac{d^n F(s)}{ds^n} = (-1)^n \int_0^\infty e^{-st} t^n f(t) dt = (-1)^n + {t^n f(t)}, \quad \text{Re}(s) > \sigma_c$$