换言之，定理 11.3 表明，对函数的变换关于 $s$ 求导，等价于将函数本身乘以 $-t$ 。与前面的性质一样，我们现在可以利用这个结果来扩充我们的拉普拉斯变换对列表。

例 11.11 确定 $\mathcal{L}{t \sin 3t}$ 。

解 利用结果 (11.7)，

$$\mathcal{L}{\sin 3t} = F(s) = \frac{3}{s^2 + 9}, \quad \operatorname{Re}(s) > 0$$

因此，根据导数定理，

$$\mathcal{L}{t \sin 3t} = -\frac{dF(s)}{ds} = \frac{6s}{(s^2 + 9)^2}, \quad \operatorname{Re}(s) > 0$$

在 MATLAB 中，命令

syms s t
laplace(t*sin(3*t))
return
ans = 6*s/(s^2 + 9)^2

例 11.12 确定 $\mathcal{L}{t^2 e^t}$ 。

解 由结果 (11.6)，

$$\mathcal{L}{e^t} = F(s) = \frac{1}{s-1}, \quad \operatorname{Re}(s) > 1$$

因此，根据导数定理，

$$\begin{aligned} \mathcal{L}{t^2 e^t} &= (-1)^2 \frac{d^2 F(s)}{ds^2} = (-1)^2 \frac{d^2}{ds^2} \left( \frac{1}{s-1} \right) = (-1) \frac{d}{ds} \left( \frac{1}{(s-1)^2} \right) \ &= \frac{2}{(s-1)^3}, \quad \operatorname{Re}(s) > 1 \end{aligned}$$

注意，利用第一个平移定理更容易推导出该结果。

使用 MATLAB 确认答案可以通过以下命令进行验证：