English · PDF 941
中文 · PDF 941
例 11.13 求 +{t
n }，其中 n 为正整数。
解 利用结果 (11.4)，
$$\mathcal{L}{1} = \frac{1}{s}, \quad \text{Re}(s) > 0$$
因此，根据导数定理，
$$\mathcal{L}{t^n} = (-1)^n \frac{d^n}{ds^n} \left( \frac{1}{s} \right) = \frac{n!}{s^{n+1}}, \quad \text{Re}(s) > 0$$
11.2.5 拉普拉斯变换表
在此阶段，将迄今为止已证明的结果汇总以便查阅是合适的。这以两个简短的表格形式完成。图 11.5(a) 列出了一些拉普拉斯变换对，图 11.5(b) 列出了已经讨论过的性质。
| (a) | $f(t)$ | $\mathcal{E}{f(t)} = F(s)$ | 收敛域 |
|---|---|---|---|
| 的 m。 | $c, \quad c$ 常数 | $\frac{c}{s}$ | $\text{Re}(s) > 0$ |
| $t$ | $\frac{1}{s^2}$ | $\text{Re}(s) > 0$ | |
| $t^n, \quad n$ 正整数 | $\frac{n!}{s^{n+1}}$ | $\text{Re}(s) > 0$ | |
| $e^{kt}, \quad k$ 常数 | $\frac{1}{s - k}$ | $\text{Re}(s) > \text{Re}(k)$ | |
| $\sin at, \quad a$ 实常数 | $\frac{a}{s^2 + a^2}$ | $\text{Re}(s) > 0$ | |
| $\cos at, \quad a$ 实常数 | $\frac{s}{s^2 + a^2}$ | $\text{Re}(s) > 0$ | |
| $e^{-kt} \sin at, \quad k$ 和 $a$ 实常数 | $\frac{a}{(s + k)^2 + a^2}$ | $\text{Re}(s) > -k$ | |
| $e^{-kt} \cos at, \quad k$ 和 $a$ 实常数 | $\frac{s + k}{(s + k)^2 + a^2}$ | $\text{Re}(s) > -k$ |
(b) $\mathcal{L}{f(t)} = F(s)$ , $\text{Re}(s) > \sigma_1$ 和 $\mathcal{L}{g(t)} = G(s)$ , $\text{Re}(s) > \sigma_2$
线性性质： $\mathcal{L}{\alpha f(t) + \beta g(t)} = \alpha F(s) + \beta G(s)$ , $\text{Re}(s) > \max(\sigma_1, \sigma_2)$
第一平移定理： $\mathcal{L}{e^{at}f(t)} = F(s - a)$ , $\text{Re}(s) > \sigma_1 + \text{Re}(a)$
变换的导数：
$$\mathcal{L}{t^n f(t)} = (-1)^n \frac{d^n F(s)}{ds^n} \quad (n = 1, 2, \dots), \quad \text{Re}(s) > \sigma_1$$
图 11.5
(a) 拉普拉斯变换对表。
(b) 拉普拉斯变换的一些性质。