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11.2.6 习题
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1 利用拉普拉斯变换的定义求下列函数的变换，其中 $f(t)$ 由下式给出 $f(t)$ 并指出每种情况下的收敛区域。
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(a) $\cosh 2t$ (b) $t^2$ (c) $3 + t$ (d) $te^{-t}$ 利用拉普拉斯变换的定义求下列函数的变换，其中
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由下式给出 (a) $f(t)$ 并指出每种情况下的收敛区域。
下列函数的收敛横坐标是什么？ $f(t)$ 11.2.7 逆变换
符号 $\cosh 2t$ (b) $t^2$ (c) $3 + t$ (d) $te^{-t}$ 由下式给出
| (a) $e^{5t}$ | (b) $e^{-3t}$ | (c) $\sinh 2t$ | (d) $\sinh 3t$ |
|---|---|---|---|
| (c) $\sin 2t$ | (d) $\sinh 3t$ | (e) $\sinh 2t$ | (f) $e^{-2t} + 3 - 2 \cos 2t$ |
| (e) $\cosh 2t$ | (f) $t^4$ | (g) $4te^{-2t}$ | (h) $2e^{-3t} \sin 2t$ |
| (g) $e^{-5t} + t^2$ | (h) $3 \cos 2t - t^3$ | (i) $t^2 e^{-4t}$ | (j) $6t^3 - 3t^2 + 4t - 2$ |
| (i) $3e^{2t} - 2e^{-2t} + \sin 2t$ | (j) $\sinh 3t + \sin 3t$ | (k) $2 \cos 3t + 5 \sin 3t$ | (l) $t \cos 2t$ |
| (m) $t^2 \sin 3t$ | (n) $t^2 - 3 \cos 4t$ |
(a) $5 - 3t$ (b) $7t^3 - 2 \sin 3t$ (c) $3 - 2t + 4 \cos 2t$ (d) $\cosh 3t$ (e) $\sinh 2t$ (f) $5e^{-2t} + 3 - 2 \cos 2t$ (g) $4te^{-2t}$ (h) $2e^{-3t} \sin 2t$ (i) $t^2 e^{-4t}$ (j) $6t^3 - 3t^2 + 4t - 2$ (k) $2 \cos 3t + 5 \sin 3t$ (l) $t \cos 2t$ (m) $t^2 \sin 3t$ (n) $t^2 - 3 \cos 4t$ (o) $t^2 e^{-2t} + e^{-t} \cos 2t + 3$
并指出每种情况下的收敛区域。 $\mathcal{L}^{-1}{F(s)}$ 表示一个因果函数 $f(t)$ 其拉普拉斯变换为 $F(s)$ ；即
若 $\mathcal{L}{f(t)} = F(s)$ 则 $f(t) = \mathcal{L}^{-1}{F(s)}$
函数 $F(s)$ 与 $f(t)$ 之间的这种对应关系称为拉普拉斯逆变换， $f(t)$ 是 $F(s)$ 的逆变换，而 $\mathcal{L}^{-1}$ 被称为拉普拉斯逆变换算子。这些关系如图 11.6 所示。
正如 11.2.1 节的观察 (c) 中所指出的，拉普拉斯变换 $F(s)$ 仅决定……的行为 $f(t)$ 对于 $t \geq 0$ 。因此 $\mathcal{L}^{-1}{F(s)} = f(t)$ 仅当 $t \geq 0$ 时。在书写 $\mathcal{L}^{-1}{F(s)} = f(t)$ 时，假定 $t \geq 0$ ，所以严格来说，我们应写作
$$\mathcal{L}^{-1}{F(s)} = f(t)H(t) \quad (11.11)$$
图 11.6
拉普拉斯变换
及其逆变换。