例 11.14 由于

$$\mathcal{L}{\mathbf{e}^{at}} = \frac{1}{s - a}$$

可得

$$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s-a}\right} = e^{at}$$

例 11.15 由于

$$\mathcal{L}{\sin \omega t} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$$

可得

$$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}\right} = \sin \omega t$$

拉普拉斯变换的线性性质（性质 11.1）指出，如果 $\alpha$ 和 $\beta$ 是任意常数，那么

$$\mathcal{L}{\alpha f(t) + \beta g(t)} = \alpha \mathcal{L}{f(t)} + \beta \mathcal{L}{g(t)} = \alpha F(s) + \beta G(s)$$

由上述定义可得

$$\mathcal{L}^{-1}{\alpha F(s) + \beta G(s)} = \alpha f(t) + \beta g(t) = \alpha \mathcal{L^{-1}{F(s)} + \beta L^{-1}{G(s)}$$

因此拉普拉斯逆变换算子 $\mathcal{L}^{-1}$ 也是一个线性算子。

11.2.8 拉普拉斯逆变换的求解

求函数 F(s) 的逆变换最直接的方法是利用变换表，例如图 11.5 中给出的变换表。有时可以直接从表中写出逆变换，但更多情况下需要先对 F(s) 进行一些代数运算。特别是，我们经常需要求形如 p(s)/q(s) 的有理函数的逆变换，其中 p(s) 和 q(s) 是关于 s 的多项式。在这种情况下，步骤是先将函数分解为部分分式，然后再使用变换表。

使用 MATLAB 符号数学工具箱，命令

syms s t ilaplace(F(s))

将返回 F(s) 的逆变换。