例 11.16 求 $$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{(s+3)(s-2)}\right}$$

解 首先 $1/(s+3)(s-2)$ 被分解为部分分式，得到

$$\frac{1}{(s+3)(s-2)} = \frac{-\frac{1}{5}}{s+3} + \frac{\frac{1}{5}}{s-2}$$

然后，利用该结果 $\mathcal{L}^{-1}{1/(s+a)} = e^{-at}$ 并结合线性性质，我们有

$$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{(s+3)(s-2)}\right} = -\frac{1}{5}\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s+3}\right} + \frac{1}{5}\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{s-2}\right} = -\frac{1}{5}e^{-3t} + \frac{1}{5}e^{2t}$$

使用 MATLAB，命令

syms s t
ilaplace(1/((s+3)*(s-2)));
pretty(ans)

返回答案

-1/5exp(-3t) + 1/5exp(2t)

例 11.17 求 $$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{s+1}{s^2(s^2+9)}\right}$$

解 将 $(s+1)/s^2(s^2+9)$ 分解为部分分式，得到

$$\begin{aligned} \frac{s+1}{s^2(s^2+9)} &= \frac{\frac{1}{9}}{s} + \frac{\frac{1}{9}}{s^2} - \frac{1}{9}\frac{s+1}{s^2+9} \ &= \frac{\frac{1}{9}}{s} + \frac{\frac{1}{9}}{s^2} - \frac{1}{9}\frac{s}{s^2+3^2} - \frac{1}{27}\frac{3}{s^2+3^2} \end{aligned}$$

利用图 11.5 中的结果，并结合线性性质，我们有

$$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{s+1}{s^2(s^2+9)}\right} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9}t - \frac{1}{9}\cos 3t - \frac{1}{27}\sin 3t$$