使用 MATLAB，通过以下命令验证答案：

syms s t
ilaplace((s + 1)/(s^2*(s^2 + 9)));
pretty(ans)

11.2.9 利用第一个位移定理进行反变换

在定理 11.2 中我们看到，如果 $F(s)$ 是某个函数的拉普拉斯变换， $f(t)$ 那么，对于标量 $a$ , $F(s - a)$ 是该函数的拉普拉斯变换， $e^a f(t)$ 。该定理在用于求函数的拉普拉斯变换时通常不会引起太大困难，但在用于求逆变换时却经常导致问题。以逆变换形式表示，该定理变为

$$\mathcal{L}^{-1}{F(s - a)} = e^{at}f(t)$$

记号

$$\mathcal{L}^{-1}{[F(s)]_{s \rightarrow s-a}} = e^{at}[f(t)]$$

其中 $F(s) = \mathcal{L}{f(t)}$ 和 $[F(s)]_{s \rightarrow s-a}$ 表示 $s$ 在 $F(s)$ 被替换为 $s-a$ ，可以使该关系更清楚。

例 11.18 求

求

$$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{(s+2)^2}\right}$$

解 ¹

$$\frac{1}{(s+2)^2} = \left[ \frac{1}{s^2} \right]_{s \rightarrow s+2}$$

并且，由于 $1/s^2 = \mathcal{L}{t}$ ，移位定理给出

$$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{(s+2)^2}\right} = te^{-2t}$$

用 MATLAB 验证答案。

例 11.19 求

求

$$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{2}{s^2+6s+13}\right}$$