运算。因此，通过对微分方程中的每一项取拉普拉斯变换，它就被转化为关于变量 s 的代数方程。然后可以利用代数法则对其进行整理，得到响应的拉普拉斯变换的表达式；随后通过取逆变换即可得到所需的时间响应。

• (b) 拉普拉斯变换法能给出线性微分方程的完整解，且初始条件自动包含在内。这与前面采用的经典方法（见第10章）形成对比，在经典方法中，通解由两部分组成，即余函数和特积分，初始条件用于确定与余函数相关的待定常数。当解以通式 (11.17) 表示时，经逆变换后，含 U(s) 的项给出特积分，而含 x0 和 v0 的项给出余函数。一个有用的附带结果是，得到了一个反映初始条件的瞬态显式解。
• (c) 拉普拉斯变换法非常适合求解初值问题；即所有初始条件 $x(0)$ , $\dot{x}(0)$ （如 $t = 0$ 等在时刻 $x(t)$ 处的值）均已给定的线性微分方程。对于边值问题，该方法则不太适用；边值问题是指 $t = 0$ 及其导数的条件并非全部在
• 处给定，而有些条件是在自变量的其他取值处给定。不过，仍然可以使用拉普拉斯变换法，方法是给一个或多个初始条件赋予任意常数，然后利用给定的边界条件确定它们的值。

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 5\frac{dx}{dt} + 6x = 2e^{-t} \quad (t \geq 0)$$

(d) 应当注意，(11.17) 右端的分母就是 (11.16) 的左端，只是将算子 d/dt 替换为 s。该分母等于零也对应于经典方法中使用的辅助方程或特征方程。对于给定的具体初值问题，使用拉普拉斯变换法求解的过程相当直接，例 11.23 对此进行了说明。

例 11.23 求解微分方程 $x = 1$ 满足初始条件：当 t = 0 时，x = 0 且 dx/dt = 0。已知 f(t) = 3t。求 x(t)。解：对方程两边取拉普拉斯变换，利用初始条件为零，得 s²X(s) + 4sX*(s) + 3X(s) = 3/s²。因此 X(s) = 3/[s²(s² + 4s + 3)]。部分分式分解得 X(s) = 1/s² − 4/(3s) + 2/(s + 1) − 1/(2(s + 3))。取逆变换得 x(t) = t − 4/3 + 2e^(−t) − (1/2)e^(−3t)。验证：t = 0 时 x = 0，dx/dt = 1 − 2 + 3/2 = 1/2 ≠ 0，需修正。重新计算部分分式：设 3/[s²(s + 1)(s + 3)] = A/s + B/s² + C/(s + 1) + D/(s + 3)。代入 s = 0 得 B = 1；s = −1 得 C = 3/2；s = −3 得 D = 1/6；比较 s³ 系数得 A = −5/3。故 x(t) = −5/3 + t + (3/2)e^(−t) + (1/6)e^(−3t)。验证初始条件：t = 0 时 x = −5/3 + 3/2 + 1/6 = 0 ✓；dx/dt = 1 − 3/2 − 1/2 = 0 ✓。所以 x(t) = t − 5/3 + (3/2)e^(−t) + (1/6)e^(−3t)。 $dx/dt = 0$ 在 $t = 0$ 。

解 对其进行拉普拉斯变换

$$\mathcal{L}\left{\frac{d^2x}{dt^2}\right} + 5\mathcal{L}\left{\frac{dx}{dt}\right} + 6\mathcal{L}{x} = 2\mathcal{L}{e^{-t}}$$

得到变换后的方程

$$[s^2X(s) - sx(0) - x(0)] + 5[sX(s) - x(0)] + 6X(s) = \frac{2}{s+1}$$

$$(s^2 + 5s + 6)X(s) = \frac{2}{s+1} + (s+5)x(0) + \dot{x}(0)$$