代入给定的初始条件 $x(0) = 1$ 和 $\dot{x}(0) = 0$ 得到

$$(s^2 + 5s + 6)X(s) = \frac{2}{s+1} + s + 5$$

即，

$$X(s) = \frac{2}{(s+1)(s+2)(s+3)} + \frac{s+5}{(s+3)(s+2)}$$

将有理项分解为部分分式可得

$$\begin{aligned} X(s) &= \frac{1}{s+1} - \frac{2}{s+2} + \frac{1}{s+3} + \frac{3}{s+2} - \frac{2}{s+3} \ &= \frac{1}{s+1} + \frac{1}{s+2} - \frac{1}{s+3} \end{aligned}$$

取逆变换即得所求解

$$x(t) = e^{-t} + e^{-2t} - e^{-3t} \quad (t \geq 0)$$

原则上，例 11.23 中求解二阶常系数线性微分方程的方法可以很容易地推广到更高阶的微分方程。一般的 n 阶线性微分方程可写为

$$a_n \frac{d^n x}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} x}{dt^{n-1}} + \dots + a_0 x = u(t) \quad (t \geq 0) \quad (11.18)$$

其中 $a_n$ , $a_{n-1}$ , ..., $a_0$ 为常数，且 $a_n \neq 0$ 。这可以写成更简洁的形式

$$q(\mathbf{D})x(t) = u(t) \quad (11.19)$$

其中 D 表示算子 d/dt，而 q(D) 是多项式

$$q(\mathbf{D}) = \sum_{r=0}^n a_r \mathbf{D}^r$$

目标是在给定初始条件组的情况下，确定对于给定强迫函数 u(t) 的响应 x(t)

$$D^r x(0) = \left[ \frac{d^r x}{dt^r} \right]_{t=0} = c_r \quad (r = 0, 1, \dots, n-1)$$

对 (11.19) 取拉普拉斯变换并像前面那样进行推导，可得

$$X(s) = \frac{p(s)}{q(s)}$$