其中

$$p(s) = U(s) + \sum_{r=0}^{n-1} c_r \sum_{i=r+1}^n a_i s^{i-r-1}$$

然后，原则上，通过取逆变换，所求的响应 $x(t)$ 可以求得为

$$x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{p(s)}{q(s)} \right}$$

对于高阶微分方程，执行这一求逆的过程可能相当繁琐，此时可以使用矩阵方法，如配套教材《Advanced Modern Engineering Mathematics》（现代高等工程数学）第 5 章所述。

为了结束本节，下面进一步给出若干例题，以帮助巩固对这种求解线性微分方程方法的理解。

例 11.24

求解微分方程

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 6\frac{dx}{dt} + 9x = \sin t \quad (t \geq 0)$$

其初始条件为 $x = 0$ 和 $dx/dt = 0$ 在 $t = 0$ 。

解 取拉普拉斯变换

$$\mathcal{L} \left{ \frac{d^2x}{dt^2} \right} + 6\mathcal{L} \left{ \frac{dx}{dt} \right} + 9\mathcal{L}{x} = \mathcal{L}{\sin t}$$

得到方程

$$[s^2X(s) - sx(0) - \dot{x}(0)] + 6[sX(s) - x(0)] + 9X(s) = \frac{1}{s^2 + 1}$$

整理后可得

$$(s^2 + 6s + 9)X(s) = \frac{1}{s^2 + 1} + (s + 6)x(0) + \dot{x}(0)$$

代入给定的初始条件 $x(0) = \dot{x}(0) = 0$ 得到

$$X(s) = \frac{1}{(s^2 + 1)(s + 3)^2}$$

分解为部分分式可得

$$X(s) = \frac{3}{50} \frac{1}{s + 3} + \frac{1}{10} \frac{1}{(s + 3)^2} + \frac{2}{25} \frac{1}{s^2 + 1} - \frac{3}{50} \frac{s}{s^2 + 1}$$

即，

$$X(s) = \frac{3}{50} \frac{1}{s + 3} + \frac{1}{10} \left[ \frac{1}{s^2} \right]_{s \rightarrow s+3} + \frac{2}{25} \frac{1}{s^2 + 1} - \frac{3}{50} \frac{s}{s^2 + 1}$$