取逆变换，并利用移位定理，即可得到所需的解

$$x(t) = \frac{3}{50}e^{-3t} + \frac{1}{10}te^{-3t} + \frac{2}{25}\sin t - \frac{3}{50}\cos t \quad (t \geq 0)$$

在 MATLAB 中，使用符号数学工具箱，命令 dsolve 可以计算微分方程的符号解。我们约定字母 $D$ 表示求导，而符号 $D_2, D_3, \dots, D_N$ 分别表示二阶、三阶…… $N^{\text{th}}$ 阶导数。因变量是其前面带有 $D$ 的变量，而默认的自变量是 $t$ 。可以通过将该变量作为最后一个输入参数，把自变量从 $t$ 更改为另一个符号变量。初始条件由附加方程指定，例如 $D_X(0) = 6$ 。如果未指定初始条件，解将包含积分常数，例如 $C_1$ 和 $C_2$ 。

对于例 11.24 中的微分方程，MATLAB 命令

syms  $x(t)$ 
 $D_2x = \text{diff}(x, t, 2) Dx = \text{diff}(x, t) \text{dsolve}(D_2x + 6*Dx + 9*x ==$ 
 $\sin(t), x(0) == 0, Dx(0) == 0)$

返回解

 $(3*\exp^{(-3*t)}) / 50 - \cos(t + atan(4/3)) / 10 + (t*\exp^{(-3*t)}) / 10$

将 $1/\exp(t)$ 表示为 $e^{-3t}$ 留作练习。

在 MATLAB 中，也可以用与上述练习类似的方法利用拉普拉斯变换求解常微分方程。这留作读者的任务。

例 11.25

求解微分方程

$$\frac{d^3x}{dt^3} + 5\frac{d^2x}{dt^2} + 17\frac{dx}{dt} + 13x = 1 \quad (t \geq 0)$$

满足初始条件 $x = dx/dt = 1$ 和 $d^2x/dt^2 = 0$ 在 $t = 0$ 处。

解 取拉普拉斯变换

$$\mathcal{L}\left{\frac{d^3x}{dt^3}\right} + 5\mathcal{L}\left{\frac{d^2x}{dt^2}\right} + 17\mathcal{L}\left{\frac{dx}{dt}\right} + 13\mathcal{L}{x} = \mathcal{L}{1}$$

得到方程

$$\begin{aligned} s^3X(s) - s^2x(0) - sx(0) - \dot{x}(0) + 5[s^2X(s) - sx(0) - \dot{x}(0)] \ + 17[sX(s) - x(0)] + 13X(s) = \frac{1}{s} \end{aligned}$$

经整理后可得

$$(s^3 + 5s^2 + 17s + 13)X(s) = \frac{1}{s} + (s^2 + 5s + 17)x(0) + (s + 5)\dot{x}(0) + \dot{x}(0)$$

$$X(s) = \frac{s^3 + 6s^2 + 22s + 1}{s(s^3 + 5s^2 + 17s + 13)}$$