显然 $s + 1$ 是一个因式 $s^3 + 5s^2 + 17s + 13$ ，通过代数除法我们得到

$$X(s) = \frac{s^3 + 6s^2 + 22s + 1}{s(s+1)(s^2 + 4s + 13)}$$

分解为部分分式，

$$X(s) = \frac{\frac{1}{13}}{s} + \frac{\frac{8}{5}}{s+1} - \frac{1}{65} \frac{44s+7}{s^2+4s+13} = \frac{\frac{1}{13}}{s} + \frac{\frac{8}{5}}{s+1} - \frac{1}{65} \frac{44(s+2)-27(3)}{(s+2)^2+3^2}$$

利用位移定理进行逆变换，得到解

$$x(t) = \frac{1}{13} + \frac{8}{5}e^{-t} - \frac{1}{65}e^{-2t}(44 \cos 3t - 27 \sin 3t) \quad (t \geq 0)$$

请确认答案可以用以下命令检验

syms x(t) D3x = diff(x,t,3)D2x = diff(x,t,2)Dx = diff(x,t) dsolve(D3x + 5*D2x + 17*Dx + 13*x == 1,x(0) == 1, D2x(0) == 0)

（在 MATLAB 中）。

• 5 使用拉普拉斯变换方法，求解 $t \geq 0$ 以下微分方程，满足给定的初始条件。

• $$(f) \quad \frac{d^2x}{dr^2} + 4 \frac{dx}{dt} + 5x = 3e^{-2t}$$

  $$\text{subject to } x = 4 \text{ and } \frac{dx}{dt} = -7 \text{ at } t = 0$$

• $$(g) \quad \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} - 2x = 5e^{-t} \sin t$$

  $$\text{subject to } x = 1 \text{ and } \frac{dx}{dt} = 0 \text{ at } t = 0$$

• $$(h) \quad \frac{d^2 y}{dt^2} + 2 \frac{dy}{dt} + 3y = 3t$$

  $$\text{subject to } y = 0 \text{ and } \frac{dy}{dt} = 1 \text{ at } t = 0$$

• $$(i) \quad \frac{d^2 x}{dt^2} + 4 \frac{dx}{dt} + 4x = t^2 + e^{-2t}$$

  $$\text{subject to } x = \frac{1}{2} \text{ and } \frac{dx}{dt} = 0 \text{ at } t = 0$$

  $$(j) \quad 9 \frac{d^2 x}{dt^2} + 12 \frac{dx}{dt} + 5x = 1$$

  $$\text{subject to } x = 0 \text{ and } \frac{dx}{dt} = 0 \text{ at } t = 0$$

11.3.4 练习

使用 MATLAB 检验你的答案。