$$(k) \quad \frac{d^2x}{dt^2} + 8\frac{dx}{dt} + 16x = 16 \sin 4t$$

受制于 $$x = -\frac{1}{2}$$ 和 $\frac{dx}{dt} = 1$ 在 $t = 0$

$$(1) \quad 9 \frac{d^2 y}{dt^2} + 12 \frac{dy}{dt} + 4y = e^{-t}$$

受制于 $$y = 1$$ 和 $\frac{dy}{dt} = 1$ 在 $t = 0$

$$(m) \frac{d^3x}{dt^3} - 2 \frac{d^2x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} + 2x = 2 + t$$

受制于 $$x = 0$$ , $\frac{dx}{dt} = 1$ 和 $\frac{d^2x}{dt^2} = 0$ 在 $t = 0$

$$(n) \quad \frac{d^3x}{dt^3} + \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} + x = \cos 3t$$

受制于 $$x = 0$$ , $\frac{dx}{dt} = 1$ 和 $\frac{d^2x}{dt^2} = 1$ 在 $t = 0$

11.3.5 联立微分方程

在工程中，我们经常遇到其特性由一组带常系数的联立线性微分方程建模的系统。求解方法本质上与 11.3.3 节中求解单个未知量的微分方程所采用的方法相同。对方程组整体取拉普拉斯变换，联立微分方程组被转换为联立代数方程组，然后解出变换后的变量；再通过逆变换得到所需的解。

例 11.26 求解 $t \geq 0$ 该一阶联立微分方程

$$\frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} + 5x + 3y = e^{-t} \quad (11.20)$$

$$2 \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} + x + y = 3 \quad (11.21)$$

满足初始条件 $x = 2$ 和 $y = 1$ 在 $t = 0$ 。

解 对 (11.20) 和 (11.21) 取拉普拉斯变换，得

$$sX(s) - x(0) + sY(s) - y(0) + 5X(s) + 3Y(s) = \frac{1}{s+1}$$

$$2[sX(s) - x(0)] + sY(s) - y(0) + X(s) + Y(s) = \frac{3}{s}$$

整理并代入给定的初始条件 $x(0) = 2$ 和 $y(0) = 1$ 导出

$$(s + 5)X(s) + (s + 3)Y(s) = 3 + \frac{1}{s+1} = \frac{3s+4}{s+1} \quad (11.22)$$

$$(2s + 1)X(s) + (s + 1)Y(s) = 5 + \frac{3}{s} = \frac{5s + 3}{s} \quad (11.23)$$

因此，通过取拉普拉斯变换，将 中的联立微分方程组 (11.20) 和 (11.21) $x(t)$ 和 $y(t)$ 已变换为一对联立