变换后变量下的代数方程 (11.22) 和 (11.23) $X(s)$ 和 $Y(s)$ 。现在可以用标准代数方法联立求解这些代数方程，得到 $X(s)$ 和 $Y(s)$ 。

先求解 $X(s)$ ，得到

$$X(s) = \frac{2s^2 + 14s + 9}{s(s + 2)(s - 1)}$$

分解为部分分式，

$$X(s) = -\frac{\frac{9}{2}}{s} - \frac{\frac{11}{6}}{s + 2} + \frac{\frac{25}{3}}{s - 1}$$

经反演得到

$$x(t) = -\frac{9}{2} - \frac{11}{6}e^{-2t} + \frac{25}{3}e^t \quad (t \geq 0) \quad (11.24)$$

同样，求解 $Y(s)$ ，得到

$$Y(s) = \frac{s^3 - 22s^2 - 39s - 15}{s(s + 1)(s + 2)(s - 1)}$$

化为部分分式，

$$Y(s) = \frac{\frac{15}{2}}{s} + \frac{\frac{1}{2}}{s + 1} + \frac{\frac{11}{2}}{s + 2} - \frac{\frac{25}{2}}{s - 1}$$

对其求逆变换得

$$y(t) = \frac{15}{2} + \frac{1}{2}e^{-t} + \frac{11}{2}e^{-2t} - \frac{25}{2}e^t \quad (t \geq 0)$$

因此，给定联立微分方程组的解为

$$\left. \begin{aligned} x(t) &= -\frac{9}{2} - \frac{11}{6}e^{-2t} + \frac{25}{3}e^t \ y(t) &= \frac{15}{2} + \frac{1}{2}e^{-t} + \frac{11}{2}e^{-2t} - \frac{25}{2}e^t \end{aligned} \right} \quad (t \geq 0)$$

注： 在求解形如 (11.20) 和 (11.21) 的一对联立一阶微分方程时，求出 $y(t)$ 的值后，在得到 $x(t)$ 之后，另一种方法是直接使用 (11.20) 和 (11.21)。

从 (11.20) 和 (11.21) 中消去 $dy/dt$ 得

$$2y = \frac{dx}{dt} - 4x - 3 + e^{-t}$$

将 (11.24) 中求得的解代入 $x(t)$ 得

$$2y = \left(\frac{11}{3}e^{-2t} + \frac{25}{3}e^t\right) - 4\left(-\frac{9}{2} - \frac{11}{6}e^{-2t} + \frac{25}{3}e^t\right) - 3 + e^{-t}$$

与前面一样，得到该解

$$y = \frac{15}{2} + \frac{1}{2}e^{-t} + \frac{11}{2}e^{-2t} - \frac{25}{2}e^t$$

另一种方法是将 (11.22) 和 (11.23) 表示为矩阵形式，然后求解 $X(s)$ 和 $Y(s)$ 使用高斯消元法。