在 MATLAB 中，例 11.26 中那对联立微分方程组的解可以用以下命令求得

syms $$x(t)$$ $y(t)$

$$Dx = \text{diff}(x, t) Dy = \text{diff}(y, t) [x, y] = \text{dsolve}(Dx + Dy +$$

$$5^*x + 3^*y == \exp(-t), 2^*Dx + Dy + x + y == 3, x(0) == 2,$$

$$y(0) == 1)$$

其返回结果为

$$x = -11/6 * \exp(-2 * t) + 25/3 * \exp(t) - 9/2$$

$$y = -25/2*\exp(t) + 11/2*\exp(-2t) + 15/2 + 1/2\exp(-t)$$

然后可以使用命令 pretty(x) 和 pretty(y) 将其表示为排版形式。

原则上，例 11.26 中所用的相同方法也可用于求解一对高阶联立微分方程，或涉及更多未知量的更大的微分方程组。然而，其中涉及的代数运算可能变得相当复杂，因此通常更倾向于使用矩阵方法。

11.3.6 习题

使用 MATLAB 检验你的答案。

6 用拉普拉斯变换方法，求解 $t \geq 0$ 下列满足给定初始条件的联立微分方程：

$$(a) \ 2 \frac{dx}{dt} - 2 \frac{dy}{dt} - 9y = e^{-2t}$$

$$2 \frac{dx}{dt} + 4 \frac{dy}{dt} + 4x - 37y = 0$$

满足条件 $$x = 0$$ 以及 $y = \frac{1}{4}$ 在 $t = 0$

$$(b) \frac{dx}{dt} + 2\frac{dy}{dt} + x - y = 5 \sin t$$

$$2\frac{dx}{dt} + 3\frac{dy}{dt} + x - y = e^t$$

满足条件 $$x = 0$$ 和 $y = 0$ 在 $t = 0$

$$(c) \quad \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} + 2x + y = e^{-3t}$$

$$\frac{dy}{dt} + 5x + 3y = 5e^{-2t}$$

受制于 $$x = -1$$ 和 $y = 4$ 在 $t = 0$

$$(d) \ 3\frac{dx}{dt} + 3\frac{dy}{dt} - 2x = e^t$$

$$\frac{dx}{dt} + 2\frac{dy}{dt} - y = 1$$

受制于 $$x = 1$$ 和 $y = 1$ 在 $t = 0$

(e) $$3 \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} - 2x = 3 \sin t + 5 \cos t$$

$$2 \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} + y = \sin t + \cos t$$

受制于 $$x = 0$$ 和 $y = -1$ 在 $t = 0$

$$(f) \quad \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} + y = t$$

$$\frac{dx}{dt} + 4\frac{dy}{dt} + x = 1$$

受限于 $$x = 1$$ 和 $y = 0$ 在 $t = 0$

$$(\text{g}) 2\frac{dx}{dt} + 3\frac{dy}{dt} + 7x = 14t + 7$$

$$5\frac{dx}{dt} - 3\frac{dy}{dt} + 4x + 6y = 14t - 14$$

受限于 $$x = y = 0$$ 在 $t = 0$