图 11.12
例 11.30 的
质量-弹簧-阻尼
系统。

解 如图 11.12(b) 所示，作用在质量上的力 $M$ 为外加力 $F(t)$ 以及分别由弹簧和阻尼器产生的恢复力 $F_1$ 和 $F_2$ 。因此，根据牛顿定律，

$$M\ddot{x}(t) = F(t) - F_1(t) - F_2(t)$$

由于 $M = 1$ , $F(t) = 4 \sin \omega t$ , $F_1(t) = Kx(t) = 25x(t)$ 和 $F_2(t) = B\dot{x}(t) = 6\dot{x}(t)$ ，可得

$$\ddot{x}(t) + 6\dot{x}(t) + 25x(t) = 4 \sin \omega t \quad (11.31)$$

作为表示该系统运动的微分方程。

对 (11.31) 全式取拉普拉斯变换，得

$$(s^2 + 6s + 25)X(s) = [sx(0) + \dot{x}(0)] + 6x(0) + \frac{4\omega}{s^2 + \omega^2}$$

其中 $X(s)$ 是……的变换 $x(t)$ 。代入给定的初始条件 $x(0) = \dot{x}(0) = 0$ 得到

$$X(s) = \frac{4\omega}{(s^2 + \omega^2)(s^2 + 6s + 25)} \quad (11.32)$$

在情形 中，取 $\omega = 2$ ，(11.32) 给出

$$X(s) = \frac{8}{(s^2 + 4)(s^2 + 6s + 25)}$$

将其分解为部分分式，得到

$$\begin{aligned} X(s) &= \frac{4}{195} \frac{-4s + 14}{s^2 + 4} + \frac{2}{195} \frac{8s + 20}{s^2 + 6s + 25} \ &= \frac{4}{195} \frac{-4s + 14}{s^2 + 4} + \frac{2}{195} \frac{8(s + 3) - 4}{(s + 3)^2 + 16} \end{aligned}$$

取拉普拉斯逆变换，得到所需的响应

$$x(t) = \frac{4}{195} (7 \sin 2t - 4 \cos 2t) + \frac{2}{195} e^{-3t} (8 \cos 4t - \sin 4t) \quad (11.33)$$

在情形 中，取 $\omega = 5$ ，(11.32) 给出

$$X(s) = \frac{20}{(s^2 + 25)(s^2 + 6s + 25)} \quad (11.34)$$