即，

$$X(s) = \frac{-\frac{2}{15}s}{s^2 + 25} + \frac{1}{15} \frac{2(s+3) + 6}{(s+3)^2 + 16}$$

对上式取拉普拉斯逆变换，即得所求的响应

$$x(t) = -\frac{2}{15} \cos 5t + \frac{1}{15} e^{-3t} (2 \cos 4t + \frac{3}{2} \sin 4t) \quad (11.35)$$

若阻尼项缺失，则 (11.34) 将变为

$$X(s) = \frac{20}{(s^2 + 25)^2} \quad (11.36)$$

由定理 11.3，

$$\mathcal{L}{t \cos 5t} = -\frac{d}{ds} \mathcal{L}{\cos 5t} = -\frac{d}{ds} \left( \frac{s}{s^2 + 25} \right)$$

即，

$$\begin{aligned} \mathcal{L}{t \cos 5t} &= -\frac{1}{s^2 + 25} + \frac{2s^2}{(s^2 + 25)^2} = \frac{1}{s^2 + 25} - \frac{50}{(s^2 + 25)^2} \ &= \frac{1}{5} \mathcal{L}{\sin 5t} - \frac{50}{(s^2 + 25)^2} \end{aligned}$$

于是，由线性性质 (11.10)，

$$\mathcal{L}{\frac{1}{5} \sin 5t - t \cos 5t} = \frac{50}{(s^2 + 25)^2}$$

因此在 (11.36) 中取拉普拉斯逆变换，得到响应为

$$x(t) = \frac{2}{25} (\sin 5t - 5t \cos 5t)$$

由于项 $t \cos 5t$ ，响应 $x(t)$ 当 $t \rightarrow \infty$ . 这种情况的出现是因为此时所施加的力 $F(t) = 4 \sin 5t$ 与系统（即振动的质量块）发生共振，该系统的固有振荡频率为 $5/2\pi$ Hz，与所施加的力相等。即使存在阻尼，当所施加的力接近与系统共振时，系统响应的振幅也会达到最大。（这留作读者的练习。）在没有阻尼的情况下，我们得到纯共振的极限情形，导致无界的响应。如第 10.10.3 节所述，共振具有重要的实际意义，因为例如它可能导致大型而坚固的结构在看似相对较小的力作用下坍塌。

例 11.31

考虑图 11.13(a) 所示的机械系统，它由两个质量块 $M_1 = 1$ 和 $M_2 = 2$ 组成，每个质量块通过一个弹簧连接到固定基座，弹簧常数分别为 $K_1 = 1$ 和 $K_3 = 2$ ，并且它们之间通过第三个弹簧连接，其弹簧常数为 $K_2 = 2$ 。系统在时刻 $t = 0$ 从静止释放，处于一个其中 $M_1$ 从其平衡位置向左移动 1 个单位，并且 $M_2$ 从其平衡位置向右移动 2 个单位。忽略所有摩擦效应，求时刻 t 时各质量块的位置 $t$ .