$K = 474.5 \text{ N m}^{-1}$ , 并研究不同下落高度的影响 $h$ . ( $g$ 为重力加速度，可取为 $9.8 \text{ m s}^{-2}$ .)

图 11.17 题 11 的起落架。

12 考虑图 11.18 所示的质量-弹簧-阻尼系统，该系统可能受到两个输入力 $u_1(t)$ 和 $u_2(t)$ 的作用。证明两个质量的位移 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ 由下式给出

图 11.18 题 12 的机械系统。

$$x_2(t) = \mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{B_1 s}{\Delta} U_1(s) + \frac{M_1 s^2 + B_2 s + K_1}{\Delta} U_2(s) \right}$$

$$x_1(t) = \mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{M_2 s^2 + B_1 s + K_2}{\Delta} U_1(s) + \frac{B_1 s}{\Delta} U_2(s) \right}$$

其中

$$\Delta = (M_1s^2 + B_1s + K_1)(M_2s^2 + B_1s + K_2) - B_1^2s^2$$

1 使用拉普拉斯变换求解下列微分方程：

$$(a) \quad \frac{d^2x}{dt^2} + 4\frac{dx}{dt} + 5x = 8 \cos t$$

受约束于 $$x = \frac{dx}{dt} = 0$$ 在 $t = 0$

$$(b) \ 5\frac{d^2x}{dt^2} - 3\frac{dx}{dt} - 2x = 6$$

受约束于 $$x = 1$$ 和 $\frac{dx}{dt} = 1$ 在 $t = 0$

2 (a) 求……的拉普拉斯逆变换

$$\frac{1}{(s+1)(s+2)(s^2+2s+2)}$$

(b) 一个电压源 $Ve^{-t}\sin t$ 施加于一个串联 $LCR$ 电路上，其中 $L = 1$ , $R = 3$ 和 $C = \frac{1}{2}$

证明电路中的电流 $i(t)$ 满足微分方程

$$\frac{d^2i}{dt^2} + 3\frac{di}{dt} + 2i = Ve^{-t} \sin t$$

求电流 $i(t)$ 在初始条件下 $i(0) = 1$ 以及 $(di/dt)(0) = 2$ 。

3 用拉普拉斯变换方法求解联立微分方程

$$\frac{d^2x}{dt^2} - x + 5\frac{dy}{dt} = t$$

$$\frac{d^2y}{dt^2} - 4y - 2\frac{dx}{dt} = -2$$

约束条件为 $x = y = \frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt} = 0$ 在 $t = 0$ .

11.5 复习题（1–18）

尽可能使用 MATLAB 检验你的答案。