4 求解微分方程

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\frac{dx}{dt} + 2x = \cos t$$

满足初始条件 $x = x_0$ 和 $dx/dt = x_1$ 在 $t = 0$ 。指出稳态解和瞬态解。求稳态解的振幅和相移。

5 将 5 和 $20 \Omega$ 的电阻连接到变压器的初级线圈和次级线圈上，电感如图 11.19 所示。在时刻 $t = 0$ ，无电流流动时，向初级电路施加电压 $E = 100 \text{ V}$ 证明此后次级电路中的电流为

$$\frac{20}{\sqrt{41}}(e^{-(11+\sqrt{41})t/2} - e^{-(11-\sqrt{41})t/2})$$

• 6 (a) 求拉普拉斯变换

(b) 用拉普拉斯变换方法求解微分方程

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 4 \frac{dx}{dt} + 8x = \cos 2t$$

已知 $x = 2$ 和 $dx/dt = 1$ 当 $t = 0$ 。

7 (a) 求 $\frac{s-4}{s^2+4s+13}$

(b) 用拉普拉斯变换求解微分方程

$$\frac{dx}{dt} + 2y = 2(2 + \cos t + 2 \sin t)$$

已知 $y = -3$ 当 $t = 0$ 。

8 用拉普拉斯变换求解联立微分方程

$$\frac{dx}{dt} + 5x + 3y = 5 \sin t - 2 \cos t$$

$$\frac{dy}{dt} + 3y + 5x = 6 \sin t - 3 \cos t$$

其中 $x = 1$ 和 $y = 0$ 当 $t = 0$ 。

9 电容上的电荷 $q$ 在感性电路中由微分方程给出

$$\frac{d^2 q}{dt^2} + 300 \frac{dq}{dt} + 2 \times 10^4 q = 200 \sin 100t$$

并且还已知 $q$ 和 $dq/dt$ 在 $t = 0$ 时均为零。使用拉普拉斯变换方法求 $q$ 。电流的稳态分量 $dq/dt$ 与外加电动势 $200 \sin 100t$ 之间的相位差是多少（精确到半度）？

10 使用拉普拉斯变换求 $x$ 的值，已知

$$4 \frac{dx}{dt} + 6x + y = 2 \sin 2t$$

$$\frac{d^2x}{dt^2} + x - \frac{dy}{dt} = 3e^{-2t}$$

且 $x = 2$ 和 $dx/dt = -2$ 当 $t = 0$ 。

11 (a) 使用拉普拉斯变换求解微分方程

$$\frac{d^2\theta}{dt^2} + 8\frac{d\theta}{dt} + 16\theta = \sin 2t$$

已知 $\theta = 0$ 和 $d\theta/dt = 0$ 当 $t = 0$ 。

(b) 使用拉普拉斯变换求解联立微分方程

$$\frac{di_1}{dt} + 2i_1 + 6i_2 = 0$$

$$i_1 + \frac{di_2}{dt} - 3i_2 = 0$$

已知 $i_1 = 1, i_2 = 0$ 当 $t = 0$ 。

12 产生电压的发电机的接线端 $V$ 通过一根电阻为的导线 $R$ 和一个电感为的线圈 $L$ （电阻可忽略不计）连接。一个电容为的电容器 $C$ 并联连接

图 11.19 第 5 题的电路图。