例 12.4一个周期函数 $f(t)$ 周期为 $2\pi$ 在一个周期内定义为 $-\pi < t < \pi$ 如下

$$f(t) = \begin{cases} -1 & (-\pi < t < 0) \ 1 & (0 < t < \pi) \end{cases}$$

求其傅里叶级数展开式。

解该函数 $f(t)$ 在区间 $-4\pi < t < 4\pi$ 上的草图如图 12.7 所示。

图 12.7
例 12.4 的
方波。

显然 $f(t)$ 是 $t$ 的奇函数，因此其傅里叶级数展开式只含正弦项。取 $T = 2\pi$ , 即 $\omega = 1$ ，在 (12.19) 和 (12.20) 中，傅里叶级数展开为

$$f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin nt$$

其中

$$\begin{aligned} b_n &= \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(t) \sin nt , dt \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \ &= \frac{2}{\pi} \int_0^\pi 1 \sin nt , dt = \frac{2}{\pi} \left[ -\frac{1}{n} \cos nt \right]_0^\pi \ &= \frac{2}{n\pi} (1 - \cos n\pi) = \frac{2}{n\pi} [1 - (-1)^n] \ &= \begin{cases} 4/n\pi & (\text{odd } n) \ 0 & (\text{even } n) \end{cases} \end{aligned}$$

于是 的傅里叶级数展开为 $f(t)$ 是

$$f(t) = \frac{4}{\pi} \left( \sin t + \frac{1}{3} \sin 3t + \frac{1}{5} \sin 5t + \dots \right) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2n-1)t}{2n-1} \quad (12.21)$$

$$f(t) = t^2 \quad (-\pi < t < \pi), \quad f(t) = f(t + 2\pi)$$