解答 函数 $f(t)$ 在区间 $-3\pi < t < 3\pi$ 上的草图如图 12.8 所示。

图 12.8
例 12.5 中的函数 $f(t)$
。

显然， $f(t)$ 是关于 $t$ 的偶函数，因此其傅里叶级数展开仅包含余弦项。取 $T = 2\pi$ ，即 $\omega = 1$ ，代入 (12.17) 和 (12.18)，傅里叶级数展开为

$$f(t) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nt$$

其中

$$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(t) dt = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} t^2 dt = \frac{2}{3}\pi^2$$

和

$$\begin{aligned} a_n &= \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(t) \cos nt dt \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \ &= \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} t^2 \cos nt dt \ &= \frac{2}{\pi} \left[ \frac{t^2}{n} \sin nt + \frac{2t}{n^2} \cos nt - \frac{2}{n^3} \sin nt \right]_0^{\pi} \ &= \frac{2}{\pi} \left( \frac{2\pi}{n^2} \cos n\pi \right) = \frac{4}{n^2} (-1)^n \end{aligned}$$

由于 $\sin n\pi = 0$ 和 $\cos n\pi = (-1)^n$ 。因此， $f(t) = t^2$ 的傅里叶级数展开为

$$f(t) = \frac{1}{3}\pi^2 + 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos nt \tag{12.22}$$

或者，写出前几项，

$$f(t) = \frac{1}{3}\pi^2 - 4 \cos t + \cos 2t - \frac{4}{9} \cos 3t + \dots$$