12.2.6 偶次与奇次谐波

在本节中，我们考虑可以识别的对称性类型，以便从傅里叶级数展开式中消去偶数值为 $n$ （包括 $n = 0$ ）或奇数值为 $n$ 的项。

(a) 如果周期函数 f(t) 满足

$$f(t + \frac{1}{2}T) = f(t)$$

则它的周期为 $T/2$ ，频率为 $\omega = 2(2\pi/T)$ ，因此其傅里叶级数展开式中只包含偶次谐波。对于偶数 $n$ ，我们有

$$a_n = \frac{4}{T} \int_0^{T/2} f(t) \cos n\omega t , dt \quad (12.23)$$

$$b_n = \frac{4}{T} \int_0^{T/2} f(t) \sin n\omega t , dt \quad (12.24)$$

图 12.9(a) 给出了此类函数的一个例子。

$$f(t + \frac{1}{2}T) = -f(t)$$

$$a_n = \frac{4}{T} \int_0^{T/2} f(t) \cos n\omega t , dt \quad (12.25)$$

$$b_n = \frac{4}{T} \int_0^{T/2} f(t) \sin n\omega t , dt \quad (12.26)$$

项，这由结果 (12.21) 所证实。