例 12.6求整流正弦波的傅里叶级数展开式

$$f(t) = |\sin t|$$

解该波在区间上的草图 $-\pi < t < 2\pi$ 如图 12.10 所示。显然， $f(t + \pi) = f(t)$ ，因此傅里叶级数展开式中只含有偶次谐波。由于该函数也是关于的偶函数 $t$ ，所以傅里叶级数展开式将只由偶次谐波的余弦项组成。取 $T = 2\pi$ ，即在 (12.23) 中取 $\omega = 1$ ，偶次谐波的系数由下式给出

图 12.10
整流波
$f(t) = |\sin t|$ .

$$\begin{aligned} a_n &= \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(t) \cos nt \quad (\text{even } n) = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin t \cos nt , dt \ &= \frac{1}{\pi} \int_0^\pi [\sin(n+1)t - \sin(n-1)t] , dt \ &= \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\cos(n+1)t}{n+1} + \frac{\cos(n-1)t}{n-1} \right]_0^\pi \end{aligned}$$

由于当 $n+1$ 和 $n-1$ 在时均为奇函数 $n$ 是偶数，

$$\cos(n+1)\pi = \cos(n-1)\pi = -1$$

因此

$$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1} \right) - \left( -\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n-1} \right) \right] = -\frac{4}{\pi} \frac{1}{n^2 - 1}$$

于是 的傅里叶级数展开为 $f(t)$ 是

$$\begin{aligned} f(t) &= \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=2}^{\infty} a_n \cos nt = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2 - 1} \cos nt \ &= \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2 - 1} \cos 2nt \end{aligned}$$

或者，写出前几项，

$$f(t) = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \left( \frac{1}{3} \cos 2t + \frac{1}{15} \cos 4t + \frac{1}{35} \cos 6t + \dots \right)$$