12.2.7 线性性质

线性性质应用于傅里叶级数时，可以用以下定理的形式表述。

定理 12.1 如果 $f(t) = lg(t) + mh(t)$ ，其中 $g(t)$ 和 $h(t)$ 是周期为 $T$ 的周期函数，且 $l$ 和 $m$ 为任意常数，那么 $f(t)$ 具有傅里叶级数展开，其系数是 $g(t)$ 和 $h(t)$ 的傅里叶级数展开中的系数分别乘以 $l$ 和 $m$ 分别。

证明 显然 $f(t)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数。若 $g(t)$ 和 $h(t)$ 的傅里叶级数展开式为

$$h(t) = \frac{1}{2}\alpha_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n \cos n\omega t + \sum_{n=1}^{\infty} \beta_n \sin n\omega t$$

$$g(t) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n\omega t + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n\omega t$$

则利用 (12.11) 和 (12.12)， $f(t)$ 的展开式中的傅里叶系数为

$$\begin{aligned} A_{A_n} &= \frac{2}{T} \int_d^{d+T} f(t) \cos n\omega t , dt = \frac{2}{T} \int_d^{d+T} [lg(t) + mh(t)] \cos n\omega t , dt \ &= \frac{2l}{T} \int_d^{d+T} g(t) \cos n\omega t , dt + \frac{2m}{T} \int_d^{d+T} h(t) \cos n\omega t , dt \ &= la_n + m\alpha_n \end{aligned}$$

和

$$\begin{aligned} B_n &= \frac{2}{T} \int_d^{d+T} f(t) \sin n\omega t , dt = \frac{2l}{T} \int_d^{d+T} g(t) \sin n\omega t , dt + \frac{2m}{T} \int_d^{d+T} h(t) \sin n\omega t , dt \ &= lb_n + m\beta_n \end{aligned}$$

，从而证实了 $f(t)$ 是

$$f(t) = \frac{1}{2}(la_0 + m\alpha_0) + \sum_{n=1}^{\infty}(la_n + m\alpha_n)\cos n\omega t + \sum_{n=1}^{\infty}(lb_n + m\beta_n)\sin n\omega t$$

定理的末尾

例 12.7 设 $g(t)$ 和 $h(t)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，并在周期 $-\pi < t < \pi$ 内由下式定义：

$$g(t) = t^2, \quad h(t) = t$$

求 $g(t)$ 和 $h(t)$ 两者的傅里叶级数展开式，并利用线性性质验证例 12.2 中对周期函数 $f(t)$ （在周期内定义）所得的展开式 $-\pi < t < \pi$ 由 $f(t) = t^2 + t$ .