解 的傅里叶级数 $g(t)$ 由 (12.22) 给出为

$$g(t) = \frac{1}{3}\pi^2 + 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos nt$$

注意到 $h(t) = t$ 是 的奇函数 $t$ ，我们在 (12.19) 和 (12.20) 中取 $T = 2\pi$ 和 $\omega = 1$ ，得到其傅里叶级数展开为

$$h(t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin nt$$

其中

$$\begin{aligned} b_n &= \frac{2}{\pi} \int_0^\pi h(t) \sin nt , dt \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \ &= \frac{2}{\pi} \int_0^\pi t \sin nt , dt = \frac{2}{\pi} \left[ -\frac{t}{n} \cos nt + \frac{\sin nt}{n^2} \right]_0^\pi \ &= -\frac{2}{n} (-1)^n \end{aligned}$$

再次注意到 $\cos n\pi = (-1)^n$ 和 $\sin n\pi = 0$ . 因此， $h(t) = t$ 的傅里叶级数展开为

$$h(t) = -2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \sin nt \quad (12.27)$$

利用线性性质，通过结合 (12.12) 和 (12.27)，我们求得 $f(t) = g(t) + h(t) = t^2 + t$ 的傅里叶级数展开为

$$f(t) = \frac{1}{3}\pi^2 + 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos nt - 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \sin nt$$

这与例 12.2 中得到的级数一致。

12.2.8 傅里叶级数的收敛性

到目前为止，我们一直专注于确定给定周期函数 $f(t)$ 所对应的傅里叶级数展开。实际上，这是一个积分练习，因为我们只需利用欧拉公式 (12.11) 和 (12.12) 计算系数 $a_n$ 和 $b_n$ ，然后将这些值代入 (12.3)。我们尚未考虑的问题是：这样得到的傅里叶级数是否是周期函数 $f(t)$ 的有效表示。不应假设系数的存在 $a_n$ 且 $b_n$ 本身意味着相关的级数收敛于函数 $f(t)$ 。

关于傅里叶级数收敛性的完整讨论超出了本书的范围，我们将仅陈述一组条件，这些条件确保 $f(t)$ 具有收敛的傅里叶级数展开。这些条件被称为 狄利克雷条件（Dirichlet's conditions），可以以定理 12.2 的形式陈述。