定理 12.2 狄利克雷条件

如果 f(t) 是一个有界周期函数，且在任一周期内具有

• (a) 有限个孤立极大值和极小值，并且
• (b) 有限个有限间断点

那么 f(t) 的傅里叶级数展开在 f(t) 连续的所有点收敛于 f(t)，在 f(t) 不连续的点收敛于 f(t) 的右极限与左极限的平均值（即间断点的均值）。

定理结束

例 12.8 说明为什么函数

$$(a) \quad \frac{1}{3-t} \quad (b) \quad \sin\left(\frac{1}{t-2}\right)$$

在区间内不满足狄利克雷条件 $0 < t < 2\pi$ .

• 解 (a) 函数 $f(t) = 1/(3 - t)$ 在 $t = 3$ 处有一个无穷间断点，该点位于区间内，因此不满足条件： $f(t)$ 在一个周期内只能有有限间断点（即它是有界的）。

定理 12.2 的条件足以保证 f(t) 的一个代表性傅里叶级数展开存在。然而，这些条件并不是收敛的必要条件，也不能由此得出：如果不满足这些条件，代表性傅里叶级数就不存在。事实上，关于 f(t) 的收敛傅里叶级数存在的必要条件目前尚不清楚。在实践中，这不会造成任何问题，因为几乎所有可以想象的实际应用中所遇到的函数都满足定理 12.2 的条件，因此都具有代表性傅里叶级数。

在实际应用中另一个重要问题是傅里叶级数的收敛速度，因为它表明在展开式中需要取多少项才能获得对它所表示的函数 f(t) 的足够好的近似。显然，这由傅里叶级数的系数 an 和 bn 以及这些系数随 n 增大而减小的快慢决定。

在像例 12.1 这样的例子中，函数 f(t) 只是分段连续的，表现出跳跃间断，其傅里叶系数按 1/n 的速度减小，可能需要包含大量项才能获得对 f(t) 的足够好的近似。在像例 12.3 这样的例子中，函数是连续函数但一阶导数不连续（由于尖角的存在），其傅里叶系数按 1/n² 的速度减小，因此可以预期该级数