收敛得更快。事实上，这一论证具有普遍性，我们可以总结如下：

• (a) 若 f(t) 仅是分段连续的，则其傅里叶级数表示中的系数按 1/n 的速度衰减；
• (b) 若 f(t) 处处连续但一阶导数不连续，则其傅里叶级数表示中的系数按 1/n 的速度衰减；² ;
• (c) 若 $f(t)$ 及其直到 $r$ 阶的所有导数都连续，但 $(r + 1)$ 阶导数不连续，则其傅里叶级数表示中的系数按 $1/n^{r+2}$ 的速度衰减。

这些观察结果并不令人惊讶，因为它们只是告诉我们：函数 f(t) 越光滑，其傅里叶级数表示收敛得越快。

为了说明这些与收敛性相关的问题，我们回到例 12.4，其中得到了傅里叶级数 (12.21) 作为图 12.7 中方波的表示。

由于 (12.21) 是一个无穷级数，显然无法绘制其结果的图形。然而，通过考虑有限部分和，可以绘制该级数近似的图形。将无穷级数的前 N 项之和记为 fN(t)，即

$$f_N(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^N \frac{\sin(2n-1)t}{2n-1} \quad (12.28)$$

的图形， $f_N(t)$ 对于 $N = 1, 2, 3$ 以及 20 如图 12.11 所示。可以看出，在 $f(t)$ 连续的各点处，用 $f(t)$ 对 $f_N(t)$ 的近似随着 $N$ 的增大而改善，这证实了级数在所有这些点上都收敛于 $f(t)$ 。还可以

(a)

(b)

(d)

(c)

图 12.11 方波的 $f_N(t)$ 的图像：(a) $N = 1$ ; (b) 2; (c) 3; (d) 20.