看到在 $f(t)$ 的不连续点处（这些点出现在 $t = \pm n\pi$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ ），级数收敛到不连续处的平均值，在这个具体例子中该值为 $\frac{1}{2}(-1 + 1) = 0$ 。因此，(12.21) 中的等号需要谨慎解读。尽管这种用法可能是可以接受的，即当 $f(t)$ 取 $t$ 的值时，若 $f(t)$ 是连续的，级数收敛到 $\sim$ ，但在不连续点处情况并非如此。为克服这一问题，在函数 $=$ 的傅里叶级数表示中，经常使用符号 $f(t)$ （读作“表现为”或“表示为”）而不是等号，因此 (12.21) 通常写为

$$f(t) \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2n-1)t}{2n-1}$$

在配套教材《Advanced Modern Engineering Mathematics》中证明了傅里叶级数收敛于 $f(t)$ 其意义是使 $f(t)$ 与 $f_N(t)$ 之差的平方的积分最小化，并且当 $N \rightarrow \infty$ 时趋于零。

我们注意到，傅里叶级数在不连续点附近收敛最慢，例如发生在 $t = 0$ 处的不连续点。尽管该级数在 $t = 0$ 处确实收敛到不连续点的平均值（即零），但如图 12.11(d) 所示，在 $t = 0^-$ 处（即 $t = 0$ 的左侧）存在下冲，在 $t = 0^+$ 处（即 $t = 0$ ）。傅里叶级数的这种非光滑收敛，导致在 f 的间断点处出现下冲和上冲，这是所有表示不连续函数的傅里叶级数的特征，不仅限于例 12.4 中的方波，并以美国物理学家 J. 威拉德·吉布斯（J. Willard Gibbs，1839–1903）的名字命名为吉布斯现象。下冲/上冲的幅度并不随 n（式 (12.28) 中）的增大而减小，而只是变得越来越“尖锐”，趋于一个尖峰。一般而言，下冲与上冲的幅度之和约为间断幅度的 18%（即函数 f 在间断点左右两侧取值之差）。重要的是要认识到这一现象的存在，因为在某些实际应用中，必须通过使用适当的平滑因子来抑制间断点处的这些尖峰。 $f(t)$ 要重现图 12.11 的图形并观察级数如何随 n 的增大而收敛，可使用以下 MATLAB 命令： $N \rightarrow \infty$ n $f(t)$ 命令已被包含在内，以便在每一步结束时有机会查看图形。按任意键继续。

要重现图 12.11 的图形并观察级数如何随 n 的增大而收敛，可使用以下 MATLAB 命令： $N$ n 增大时，

t=pi/100*[-300:300];
f=0;
T=[-3*pi -2*pi -2*pi -pi -pi 0 0 pi pi 2*pi 2*pi 3*pi];
y=[-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1];
for n=1:20
f=f+4/pi*sin((2*n-1)*t)/(2*n-1);
plot(T,y,t,f,[-3*pi 3*pi],[0,0],'k-',[0,0],
[-1.3 1.3],'k-')
axis([-3*pi,3*pi,-inf,inf]),pause
end

pause pause 命令已被包含在内，以便在每一步结束时有机会查看图形。按任意键继续。