理论上，我们可以利用级数 (12.21) 来获得 $\pi$ 的一个近似值。这可以通过取 $t = \frac{1}{2}\pi$ 来实现，此时 $f(t) = 1$ ；(12.21) 于是给出

$$1 = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \frac{1}{2}(2n-1)\pi}{2n-1}$$

从而得到

$$\pi = 4\left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots\right) = 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}$$

然而，出于实际目的，这并不是获得 $\pi$ 近似值的好方法，因为该级数收敛速度很慢。

12.2.9 习题

只要可能，请使用 MATLAB 检验积分的计算。

1 在下列各题中，周期函数 $f(t)$ 的周期为 $2\pi$ 在一个周期上给出。在每种情况下，绘出该函数在以下情况时的图像： $-4\pi \leq t \leq 4\pi$ 并求出该函数的傅里叶级数表示。

(a) $f(t) = \begin{cases} -\pi & (-\pi < t < 0) \ t & (0 < t < \pi) \end{cases}$

(b) $f(t) = \begin{cases} t + \pi & (-\pi < t < 0) \ 0 & (0 < t < \pi) \end{cases}$

(c) $f(t) = 1 - \frac{t}{\pi} \quad (0 \leq t \leq 2\pi)$

(d) $f(t) = \begin{cases} 0 & (-\pi \leq t \leq -\frac{1}{2}\pi) \ 2 \cos t & (-\frac{1}{2}\pi \leq t \leq \frac{1}{2}\pi) \ 0 & (\frac{1}{2}\pi \leq t \leq \pi) \end{cases}$

(e) $f(t) = \cos \frac{1}{2}t \quad (-\pi < t < \pi)$

(f) $f(t) = |t| \quad (-\pi < t < \pi)$

(g) $f(t) = \begin{cases} 0 & (-\pi \leq t \leq 0) \ 2t - \pi & (0 < t \leq \pi) \end{cases}$

(h) $f(t) = \begin{cases} -t + e^t & (-\pi \leq t < 0) \ t + e^t & (0 \leq t < \pi) \end{cases}$

2 求周期函数的傅里叶级数展开式 $f(t)$ 周期为 $2\pi$ 定义在一个周期上 $0 \leq t \leq 2\pi$ 为

$$f(t) = (\pi - t)^2 \quad (0 \leq t \leq 2\pi)$$

利用傅里叶级数证明

$$\frac{1}{12}\pi^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$$

3 电容器极板上的电荷 $q(t)$ 在时刻 $t$ 如图 12.12 所示。将 $q(t)$ 傅里叶级数展开。

图 12.12 电荷的图像 $q(t)$ 在问题 3 中。

4 半波整流器的削波响应是周期函数 $f(t)$ 周期为 $2\pi$ 定义在周期 $0 \leq t \leq 2\pi$ 上为

$$f(t) = \begin{cases} 5 \sin t & (0 \leq t \leq \pi) \ 0 & (\pi \leq t \leq 2\pi) \end{cases}$$

将 $f(t)$ 表示为傅里叶级数展开。

5 证明表示周期函数的傅里叶级数 $f(t)$ ，其中

$$f(t) = \begin{cases} \pi^2 & (-\pi < t < 0) \ (t - \pi)^2 & (0 < t < \pi) \end{cases}$$

$$f(t + 2\pi) = f(t)$$